Почему частота волнового импульса на струне зависит только от источника волнового импульса?

Существует уравнение, которое правильно переводит положение струны под действием импульса частоты$\omega$в точку$x_0$строки.

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2}+\kappa \delta(x-x_0)\sin(\omega t)$$ это уравнение есть не что иное, как приложение второго закона Ньютона. Первый термин – это $ma$часть $f=ma$. Здесь $\rho$играть в дырку массы $m$, на самом деле плотность струны. Логика в том, что каждая точка $x$струна может деформироваться в $y_x(t)$, или $y(x,t)$. $\frac{d^2y}{dt^2}$это ускорение точки $x$вовремя $t$. Второй термин — напряжение.

Натяжение — это сила, которую может почувствовать любая точка струны, если соседние точки струны не натянуты.$T$измеряет силу. Если вы деформируете жало, то натяжение попытается растянуть струну, но из-за сохранения энергии это вызовет колебания.

Последний термин является источником. $\delta(x-x_0)$говорит, что источник находится в точке$x_0$строки. $\sin(\omega t)$говорит, что источник колеблется в точке$x_0$с частотой$\omega$.

Собрав все это вместе, мы имеем, что источник начинает колебаться в точке$x_0$, напряжение начинает действовать на другие точки$x\neq x_0$рядом с$x_0$. В конечном итоге это происходит на всей строке. В результате возникает волна со скоростью$v=\sqrt{T/\rho}$. Это потому, что в точках$x\neq x_0$, у нас есть:

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{T}{\rho}\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x_+ \partial x_-}=0$$ где $x_{\pm}=x\pm vt$. Решение представляет собой суперпозицию левой и правой волн $$y(x,t)= f(x_+)+g(x_-)$$ Полное решение должно быть совместимо с колебаниями $x_0$с частотой $\omega$. Тогда делаем вывод, что все точки должны вибрировать точно на одной частоте с разными фазами, иначе $y(x,t) \neq f(x_+)+g(x_-)$. Попробуйте визуализировать, взяв референтную систему координат, которая определяет конфигурацию функции. $y(x,t)$в покое.

Я бы сказал, что это связано с законами сохранения энергии/информации. Вы можете представить себе волну (будь то электромагнитная волна или колебания струны), распространяющуюся через среду. Энергия такой волны определяется выражением:

1. Классический гармонический осциллятор (маятник или вибрирующая струна)

   $$U = \frac{1}{2}kx^2$$ где$x$- смещение от положения устойчивого покоя и$k$есть некоторая постоянная (постоянная пружины), которая стремится вернуть систему к установившемуся равновесию. Частота колебаний здесь $$f= \frac{1}{T}= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$ где$T$это период и$m$масса осциллятора (масса единицы длины струны, если хотите). Таким образом, вы можете видеть, что энергия, хранящаяся в системе, определяется выражением $$U=\frac{m}{2}(2\pi f)^2 x^2$$ Таким образом, ясно, что если мы предполагаем отсутствие потерь или усиления, частота должна оставаться постоянной по мере того, как волна распространяется по струне, иначе мы получаем или теряем энергию.

2. Квантово-механический гармонический осциллятор (электромагнитные волны - фотоны)

   $$E = hf$$ где$h$планковская постоянная. Энергия снова зависит от частоты и должна быть постоянной при отсутствии местных источников или стоков.

Теперь, в случае передачи/отражения на интерфейсе, можно представить себе веревку как набор равномерно расположенных шариков, соединенных безмассовыми пружинами/веревками, т.е. что-то вроде

$$-\cdot-\cdot-\cdot-$$ В качестве интерфейса в случае веревки мы можем думать о тонком куске веревки, прикрепленном к толстому куску веревки. $$-\cdot-\cdot-\cdot-\odot-\odot-\odot-$$

Энергия проходит через эту веревку посредством взаимодействий «ближайших соседей». Допустим, импульс движется слева направо, чтобы 3-й шар начал двигаться, 1-й шар должен передать энергию 2-му и так далее. Мы можем думать о частоте как о скорости колебаний (колебаний). Большой шар, находящийся на границе раздела, не может начать покачиваться до тех пор, пока маленький шарик слева от него не начнет покачиваться, и эти покачивания происходят с постоянной скоростью.$f$в секунду и передаются дальше.

Теперь, пока волна распространяется с разной скоростью во 2-й среде (под этим я подразумеваю паттерн), колебания передаются между отдельными шариками с постоянной скоростью, иначе поток информации прервется. Это проявляется в изменении длины волны во 2-й среде.

$$f= \frac{v_p}{\lambda}$$ где $v_p$- фазовая скорость (скорость распространения волновой картины) и $\lambda$длина волны. Хранить $f$постоянный, если $v_p$увеличивается, так и должно $\lambda$и наоборот.