Стоячие волны: как волны, не соответствующие граничным условиям, «отменяются» от нормального режима?

Question

Стоячие волны: как волны, не соответствующие граничным условиям, «отменяются» от нормального режима?

Сёрен

Я задаю этот вопрос, потому что не нашел объяснения в учебниках.

Рассмотрим струну, закрепленную на обоих концах, на которую подается импульс (как в гитаре). Импульс может быть описан с помощью интеграла Фурье и содержит все возможные частоты (с их весами). Тем не менее, только частоты, удовлетворяющие условию

ф "=" н \frac{в}{2 л}

$f=n \frac{v}{2L}$ «выживет», а все остальные компоненты исчезнут через короткое время, после некоторых размышлений.

Хотелось бы иметь приблизительное, но вполне ясное представление о том, как компоненты волн, не удовлетворяющие $(1)$ исчезнет после отражения несколько раз.

Рассмотрим ситуацию на картинке, которая является случаем $n=2$ стоячая волна (черная), а красная и зеленая - падающая и отраженная волны.

Из-за $(1)$ , в этом случае сумма падающей и отраженной волн на обоих концах веревки в любой момент времени равна нулю. $t$ (это действительно то состояние, из которого $(1)$ является производным).

В любом случае, если это не так, т.е. сумма падающей и отраженной волн на одном из концов веревки не равна нулю, что происходит с волной?

На мой взгляд, эти две вещи должны выполняться в любом случае:

Конец веревки физически закреплен, поэтому он ни в коем случае не будет двигаться.
Поскольку конец неподвижен, отраженная волна всегда отражается вверх ногами. Так же и компоненты не подчиняющиеся $(1)$ будет отражаться вверх ногами

Но это не объясняет, почему компоненты не удовлетворяют $(1)$ в конце концов исчезают. И это тоже похоже на пункт 2. Это совершенно абсурдно, так как, если волны отражаются вверх ногами (как на картинке), но независимо от того, что они удовлетворяют условию $(1)$ или нет, мне кажется, что они должны в сумме равняться нулю на концах веревки в любом случае.

Но это, безусловно, неверно, и я совершенно не понимаю, что происходит с компонентами волны, не подчиняющимися $(1)$ , поэтому любое объяснение высоко ценится.

Ответы (3)

Стоячие волны: как волны, не соответствующие граничным условиям, «отменяются» от нормального режима?

малиновый · Answer 1

Вы правы, утверждая, что если мы проигнорируем затухание, все типы волн будут отражаться вечно.

Однако если добавить демпфирование, ситуация изменится. Величина демпфирования зависит от частоты колебаний. Выживут только низкочастотные колебания.

Однако типичные возбуждения гитарной струны не имеют единой частоты: они представляют собой смесь разных частот. Единственными возбуждениями, имеющими только одну частоту, являются те, которые имеют синоидальную форму и подчиняются граничным условиям.

Так совпало, что все остальные возбуждения можно описать как сумму этих базовых компонентов, используя математический прием, называемый рядом Фурье. Таким образом, какой бы ни была форма вашей струны, ее всегда можно описать как сумму синусоидальных возбуждений, подчиняющихся граничным условиям.

Теперь, поскольку все высокочастотные компоненты этой суммы сильно затухают, у вас остаются низкочастотные компоненты, каким бы ни было ваше первоначальное возбуждение.

алефзеро · Answer 2

Причина, по которой вы не получаете непрерывный частотный спектр, заключается в граничных условиях на концах струны.

Предположим, вы начинаете движение струны с произвольным смещением и скоростью в момент времени $t = 0$ .

Предположим, что строка имеет конечную длину $L$ и вызовите смещение строки $u(x,t)$ для $0 <= x <= L$ и $0 <= t$ . Если концы нити закреплены, $u(0,t) = u(L,t) = 0$ для всех $t$ .

Поскольку длина конечна, любые начальные перемещения и скорости можно описать дискретным рядом Фурье с членами

ты (Икс, 0) "=" \sum_{к "=" 1}^{\infty} а_{к} грех \frac{π к Икс}{л}

$u(x,0) = \sum_{k=1}^\infty a_k \sin \frac{\pi kx}{L}$

Движение продолжается как сумма бегущих вперед и назад волн, движущихся с одинаковой скоростью. $c$ (решение Даламбера волнового уравнения).

Отдельные члены приведенного выше ряда Фурье создают стоячие волны, все частоты которых кратны основной частоте. $f_0$ , т.е. $f_k = kf_0$ для $k = 1, 2, \dots$ .

Глубокий · Answer 3

Вы предполагаете, что все мыслимые частоты присутствуют в начале (когда вы дергаете струну), а затем со временем несоответствующие частоты исчезают. Ваше предположение неверно, так как концы струны зафиксированы с самого начала, и любая частота, которая не давала бы нулевого смещения на концах струны (равносильно той, которая не удовлетворяет упомянутому вами условию) просто не будет присутствовать, начиная с начало.

Стоячие волны: как волны, не соответствующие граничным условиям, «отменяются» от нормального режима?

Сёрен

Ответы (3)

малиновый

алефзеро

Глубокий

Соответствуют ли коэффициенты отражения и прохождения волн граничным условиям Неймана и Дирихле на границе раздела двух сред?

Чему равен фазовый сдвиг звуковой волны в результате отражения?

Доплеровский сдвиг и изменение интенсивности звуковой волны

Как рассчитать стоячие волны в электрических кабелях?

Отражение волн и интуитивное понимание граничных условий с открытым концом

Почему фазовый сдвиг поперечной волны составляет 180∘180∘180^{\circ}, а фазового сдвига продольной волны при отражении от жесткой стенки нет?

Как рассчитать групповую скорость волновода?

какие частоты биений будут слышны от наложения 3-х источников неодинаковой частоты?

Частотная зависимость отражения звуковой волны

Проблема эффекта Доплера с движущимся зеркалом