Почему честные подбрасывания монеты не «складываются»? Или... "заблуждение игрока" действительно имеет место быть?

Поскольку вы просили дать неформальный ответ, я постараюсь угодить вам, не используя никаких чисел или уравнений.

По сути, ваш вопрос заключается в том, как получается, что отдельные события могут быть совершенно непредсказуемыми, но когда вы складываете их вместе, либо в последовательность, либо в массу, поведение всей этой кучи становится если не полностью предсказуемым, то по крайней мере существенно предсказуемым? Ответ заключается в том, что называется законом больших чисел, и это одно из самых фундаментальных понятий в статистике.

В качестве иллюстрации представьте нечто, называемое коробкой Гальтона: это коробка треугольной формы, стоящая вертикально, с основанием на земле и одной вершиной наверху. В верхней части есть отверстие, чтобы в него можно было вбросить мяч. Ряд булавок или колышков размещены так, что мяч непредсказуемым образом падает вправо или влево, пока не достигнет дна. Как показано на этой диаграмме, когда брошено много шаров, в середине образуется куча. Мы не можем предсказать, куда упадет один мяч, но поместив достаточное количество мячей, мы можем быть все более уверены, что получим колоколообразную кривую, просто потому, что очень маловероятно, что мяч будет последовательно двигаться влево или последовательно вправо. . Один из способов представить это — подсчитать возможные пути к точке внизу.Это означает, что нам не нужно предполагать, что мяч помнит предыдущие падения. Каждый шар независим, и результирующая кривая (биномиальное распределение) возникает из него спонтанно. Это один из многих примеров того, как внешне упорядоченное поведение может проявляться даже тогда, когда на микроуровне происходит множество беспорядочных вещей. Другим является радиоактивный распад: мы не можем предсказать, когда распадется один атом, но при большой их массе мы можем очень точно предсказать, какая их часть распадется за данный интервал времени. Другой пример связан с кинетической теорией тепла: мы не можем предсказать, как движутся отдельные молекулы, но, сопоставив их вместе, мы можем сказать много полезного об их термодинамических свойствах.

Таким образом, заблуждение игрока — это настоящее заблуждение, хотя оно всегда заманчиво. Мой любимый способ проверить интуицию людей по этому поводу — спросить их об этом: предположим, я решаю играть в лотерею каждую неделю, и моя предпочтительная стратегия для выбора чисел — искать числа, которые выиграли на прошлой неделе, и выбирать их. Вы найдете много людей, которые думают, что это сумасшествие, потому что шансы на то, что один и тот же набор чисел выиграет две недели подряд, ничтожно малы. Но, конечно же, вероятность выигрыша любого набора чисел одинакова: на нее не влияет выигрыш предыдущей недели.

Если вероятность выпадения орла = p , то вероятность выпадения решки = 1- p . Если это честная монета, то p = 1 - p , а вероятность выпадения орла или решки равна p = 1/2.

Теперь предположим, что количество подбрасываний монеты равно N , и предположим, что N становится довольно большим. Ожидаемое значение случайной величины, которая представляет собой количество орлов из N подбрасываний, будет около среднего значения Np , которое для честной монеты равно N /2.

Дисперсия случайной величины (общее количество орлов из N подбрасываний) равна Np (1 - p ) (что для честной монеты равно N /4), что является квадратом стандартного отклонения . Это означает, что если N увеличить в 4 раза, то стандартное отклонение увеличится только в 2 раза.

Таким образом, по мере увеличения количества бросков отклонение количества орлов (которое равно sqrt( N )/2)) от ожидаемого среднего значения (которое равно N /2) действительно увеличивается, но не так быстро, как увеличивается количество бросков. . Когда вы делите на N , процент этого ожидаемого отклонения внутри общего количества бросков становится меньше и приближается к ожидаемым 50%. Это потому, что это (sqrt( N )/2)/ N = 1/(2 sqrt( N )) .

Судя по процентному показателю POV, вы все ближе и ближе приближаетесь к тому, что ожидается от честной монеты.

С точки зрения подсчета это не выглядит точно так же. Если вы подбросите честную монету 1 000 000 раз, количество орлов, скорее всего, будет далеко от 500 000. А вот процент количества выпавших орлов от общего количества бросков будет очень близок к 50%. И он будет приближаться к 50 % при большем количестве подбрасываний, но абсолютное расстояние от отметки 50 % будет расти со скоростью, пропорциональной sqrt( N ). Но количество бросков растет со скоростью N .

Конвергенция появляется довольно быстро.

Это ваше ошибочное предположение. Он появляется довольно быстро. В большинстве случаев. Но совсем не каждый раз.

Есть в некотором смысле два уровня вероятности: на первом уровне каждое отдельное событие имеет ту же вероятность, что и его предшественники. Во втором слое последовательность событий в целом имеет вероятность произойти. И каждая отдельная последовательность заданной длины имеет одинаковую вероятность появления, т.е. HTHTHTHT имеет ту же вероятность, что и HHHHHHHH (H=орел, T=решка), которая составляет 0,5^8. Только потому, что во всех возможных последовательностях заданной длины количество орлов и решек составляет по 50%, обычно последовательность независимых бросков сходится к этим частотам. И конечно, есть еще много-много серий длиной в восемь бросков, в которых есть хотя бы одна решка, что заставляет насдумаю , что решки выпадут довольно скоро.

Проблема в том, что вы никогда не знаете, в какой последовательности вы находитесь. Вот почему, заглядывая в будущее, игрок должен рассчитывать только на вероятность единственного следующего события. Маловероятность 11-го орла после 10 раз орла чисто субъективна, потому что существует намного больше последовательностей хотя бы с одной решкой, но она все равно составляет 50%. В конце концов, выпадение 10 орлов подряд — маловероятное событие, а не то, что при следующем броске снова выпадет орел. Но, ну, это все же произошло, так что на следующий бросок все равно.

Вы должны увидеть, что именно представляет собой событие (и объект вероятности). В примере с монетой серия до сих пор представляет собой событие, которое произошло. Таким образом, раньше была вероятность того, что эта серия произойдет, но теперь, как это случилось, осталась только частота появления , которую мы уже знаем . Единственная вероятность в строгом смысле этого слова, то есть предсказание будущего или, по крайней мере , неизвестного положения дел , — это вероятность следующего события или предстоящей серии. Как только сделан следующий бросок и мы увидели результат, остается только вероятность теперь следующего события и следующей за ним возможной серии.

Заблуждение состоит в предположении, что поскольку существует все больше возможных последовательностей хотя бы с одной решкой, то чем длиннее будет вся последовательность, тем больше вероятность выпадения решки после того, как за ней выпадет огромное количество решек . Но какой бы невероятной ни была последовательность, с которой он уже столкнулся , применение вероятности к прошлым и известным событиям является ошибкой категории, т.е. "его" последовательность +1 бросок по сравнению со всеми другими возможными последовательностями такой длины . Для каждого броска вероятность по-прежнему составляет 50%, независимо от того, что произошло раньше.

Собственно вероятность имеет смысл только для будущих или неизвестных фактов и применима к ним!

В качестве примечания следующий «контрпример»: рассмотрим три двери, вы выбираете ту, которая имеет «вероятность» содержать приз 1/3. Теперь одна дверь открыта, и у вас есть выбор изменить выбранную дверь. Каковы шансы? Что ж, вы обязательно должны измениться, потому что ваша дверь теперь имеет «вероятность» 1/3, как и раньше, а другая - 2/3. Тут надо рассматривать всю серию, противоречия нет. Это потому , что больше нет вероятности : приз уже за одной дверью, событие произошло . В этом разница.

TL;DR: редактирование и заключение

Таким образом, заблуждение, как выразился @wedstrom в своем комментарии, состоит в том, чтобы думать, что природа исправит себя, позволит случиться тому, что текущий ряд быстро сойдется . Но природа не актер, который что-то делает. А в настоящем есть только прошлое (произошедшие/известные события, частота) и будущее (предстоящие/неизвестные события, вероятность). Таким образом, если вероятность независима, ее следует понимать буквально как независимость от всего , что произошло в прошлом, независимо от того, насколько редким кажется появление результирующего общего ряда.

Однако мы также знаем, что ряды сойдутся при равновесии орла и решки.

Я думаю, что это ваша центральная проблема. Это действительно наиболее вероятный результат серии подбрасываний монеты, но вероятность не применима к вещам, о которых уже известно, что они произошли.

Представьте себе эту игру:

Монету подбрасывают 100 раз. Игроки могут делать ставки на общее количество выпавших орлов. Они могут сделать это в любое время до или во время игры.

Представьте, что вы делаете ставку до начала игры. Ваша лучшая ставка, очевидно, 50 орлов (50% от 100 будущих бросков).

Теперь представьте, что вы делаете ставку после того, как монета уже была подброшена 10 раз и все 10 раз выпала решка.

Какая сейчас лучшая ставка? Согласно заблуждению игрока, монеты должны выпасть, поэтому лучшая ставка все равно должна быть 50. Но на самом деле наиболее вероятным исходом для будущих бросков по-прежнему будет 50% орла, а у нас уже 10 орлов, поэтому лучшая ставка составляет 55 (10 известных орлов + 50% от 90 будущих бросков).

Если вы используете честную монету, среднее число выброшенных орлов сойдется к 50%. Однако количество орлов не сходится к половине брошенных монет.

Пока процент все ближе и ближе приближается к 50%, обычно количество монет будет все больше расходиться ровно от половины. Как это может быть? Бросьте десять монет. Вероятно, вы получите от 3 до 7 голов. от 30% до 70%. Бросьте 1000 монет. У вас, вероятно, будет от 450 до 550 голов. от 45% до 55%. Несмотря на то, что вы ближе к 50%, вы на самом деле дальше (50 вместо 2) от того, чтобы ровно половина бросков монеты была орлом. Память не нужна. Ваш процент приближается к 50%, хотя на самом деле вы отклоняетесь больше.

Теперь бросьте 1000 монет, а затем бросьте еще 1000 монет. Говорите каждый раз, когда у вас от 45% до 55% решек. Но так как памяти нет, то есть пятидесятипроцентный шанс, что в первых 1000 бросков у вас было меньше 50%, а в следующих 1000 бросков больше 50%, или наоборот. В этом случае вы значительно приблизитесь к 50%. Например, 45% + 55% означает ровно 50%.

Это действительно математика, а не философия.

Предположим, что вы подбросили монету m раз и выпали n решек. Доля голов пока равна n / m .

Теперь вы бросаете монету еще раз.

Существует 50% вероятность того, что выпадет решка и дробь станет n / ( m + 1), и 50% вероятность того, что выпадет решка и дробь станет ( n + 1) / ( m + 1).

В силу линейности ожидания ожидаемая доля после дополнительного подбрасывания равна ( n + 0,5) / ( m + 1).

Теперь вы можете убедиться, что если n / m = 0,5, то ( n + 0,5) / ( m + 1) = 0,5, а если у нас до сих пор была четная серия, то математическое ожидание после еще одного броска остается четным. .

Если 0,5 < n / m , то 0,5 < ( n + 0,5)/( m + 1) < n / m .

Если n / m <0,5, то n / m <( n +0,5)/( m +1)<0,5.

Другими словами, если до сих пор у нас был неравномерный прогон, ожидаемое значение после еще одного подбрасывания будет немного ближе к четному, чем было раньше, только по той причине, что знаменатель дроби увеличивается быстрее, чем числитель. делает. Вы можете начать получать 100 голов из 100 бросков, но через 100 независимых бросков вы должны рассчитывать на 150/200, что ближе к 50%. А 800 бросков после этого следует ожидать при 550/1000. Превышение 50 во всех трех случаях, но процент превышения стал меньше.

Поскольку «сходиться к равновесию» не означает точно равное количество орлов и решек, это означает, что соотношение орлов и решек приближается к равенству (с вероятностью 1: смысл которой скрывает весь математический формализм, связанный с возможностью другие результаты). На самом деле вероятность точно равного количества орлов и решек после четного числа подбрасываний стремится к нулю при большем количестве подбрасываний.

Не обращайте внимания на момент, что есть начальная серия голов. Просто начните со счетом «орел: 10, решка 0» и честной монетой. Тогда счет все еще «сходится к равновесию», потому что чем больше вы бросаете монету, тем меньше пропорциональная разница, создаваемая несправедливым преимуществом в 10. Вы счастливее дать кому-то фору на 10 м в марафоне, чем на 100 м спринт, и, по сути, хвост счастлив дать орлу любое преимущество в «бесконечной гонке». По мере приближения к бесконечности все фиксированные константы малы, вероятность того, что решка догнала решку хотя бы один раз по пути, приближается к 1, вероятность того, что решка впереди, приближается к 0,5, и это все, что мы подразумеваем под равновесием.

То же самое касается любой начальной последовательности подбрасывания монеты. Независимо от того, четное оно или нет, его похоронит неограниченная последовательность подбрасываний монеты, которая следует за этим. Учтите, если у вас есть математика, чтобы сделать это, что предел, когда x приближается к бесконечности (x + 1) / x, равен 1. Числитель получает «фору» над знаменателем, но это не имеет значения для предела.

Вы сравниваете два разных случая. Один из них — «вероятность выпадения орла при следующем подбрасывании», а другой — «сумма количества орлов». Последнее регулируется центральной предельной теоремой, которая объясняет, почему сумма сходится так быстро (во многих случаях). Суммирование действует совершенно иначе, чем просто вопрос «каков следующий результат», и именно суммирование вызывает сходимость.

С точки зрения избавления от этого «парадокса» ключевым является то, что для каждого случая, когда у нас есть N подбрасываний, которые выпали решкой, у нас также есть соответствующий случай, когда у нас есть N подбрасываний, которые выпали решкой. С точки зрения «суммы количества голов» это имеет значение. В случае, когда мы говорим о том, что «монета выпала орлом 10 раз подряд», это не так, потому что тот факт, что мы заявили, что она выпала орлом 10 раз, не позволяет нам рассмотреть случай, когда она 10 раз выпадала решкой. вверх. Случай с 10 решками никак не влияет на наше обсуждение следующего подбрасывания монеты, потому что его просто не было. Нам это не интересно.

Немного легче визуализировать отсутствие парадокса, если вместо подсчета количества орлов и решек мы присвоим орлам и решкам числовые значения (например, +1 и -1) и возьмем среднее значение . Большинству людей легко интуитивно понять, что среднее значение выборки будет приближаться к среднему значению случайной величины, когда N становится большим.

Эта визуализация может быть выполнена многими способами. Один из способов — посмотреть на все возможные последовательности выпадения орла и решки. Ясно, что каждая последовательность встречается с равной вероятностью (при честной монете). Однако, когда вы помещаете их в «корзины» в зависимости от того, сколько орлов вы видите, вы обнаружите, что существует гораздо больше последовательностей со «средним» количеством орлов, чем тех, которые имеют экстраординарное количество орлов. Это заставляет нас видеть средние числа чаще, чем экстраординарные числа.

Чтобы привести конкретный пример, строки длины 3: 0 головок = 1 строка ({T, T, T}), 1 головка = 3 строки ({H, T, T}, {T, H, T}, { T, T, H}), 2 головы = 3 строки ({H, H, T}, {H, T, H}, {T, H, H}), 3 головы = 1 строка ({H, H, ЧАС}). Всего 8 строк, каждая с вероятностью появления 1/8. Таким образом, сложением вероятность выпадения 0 орлов = 1/8, 1 орла = 3/8, 2 орлов = 3/8, 3 орлов = 1/8.

Вы правы: после серии из 10, 20, 40, 80 решек вероятность выпадения еще одной решки по-прежнему равна 1/2. Он не чуть меньше или чуть больше, он постоянно 1/2. У бросков нет памяти.

Чтобы согласовать этот результат с наивным ожиданием, следует принять во внимание: Вероятность серии длиной 10 с 10 решками равна (1/2) ** 10, что составляет около 1/1000. т.е. вероятность получить такую ​​серию при 10 бросаниях всегда равна 1/1000.

И вероятность выпадения орла соответственно (1/2)**80, что примерно равно 10**(-24), десятичной дроби с циффером 1 на позиции 24 после запятой.

Следовательно, вклад таких исключительных рядов в предел всех рядов одинаковой длины исключительно мал.

Чтобы основываться на том , что указал celtschk (и, возможно, на других, я не читал их все) с дополнительными примерами, «стремиться к 50/50» - это не то, что в следующих n бросках сведет на нет любое смещение, которое в настоящее время на месте, скорее, когда n становится достаточно большим, любое текущее смещение становится незначительным.

то есть

Предположим, вам каким-то образом удалось подбросить 100 монет и получить 100 решек, но с этого момента, ради аргументов, скажем, что подбрасывания монеты делятся ровно 50/50.

Это означает, что при 200 бросках у нас будет 150 орлов и 50 решек, все еще смещенных к орлам.

При 500 бросках, 300 орла и 200 решек, все еще смещены орлы, но в меньшей степени.

При 10000 бросков, 5050 орлов, 4950 решек это почти 50/50.

При 1000000 подбрасываний 500050 орлов и 499950 решек, при таком количестве подбрасываний это фактически сошлось на 50/50.

Это конвергенция, которую вы видите, ошибка, которая есть изначально, просто становится незначительной по мере того, как вы добавляете больше бросков. Не существует «чуть более высокой вероятности» решки.

Вы должны быть осторожны, чтобы уточнить вопрос, который вы задаете. В дальнейшем монета не имеет памяти, и вероятность выпадения орла при любом подбрасывании равна 1/2. Период. Конец. Схождение к среднему происходит потому, что любой излишек, который у вас есть сейчас, будет вымыт в гораздо больших количествах .числа. Скажем, первые десять бросков выпали орлом. В этот момент, если бы я спросил о наиболее вероятном количестве орлов после 100 бросков, ответ был бы 55. Это немного высоко. Если бы я спросил наиболее вероятное количество орлов после миллиона бросков, это было бы 500005, а до первых 10 бросков было 500000. Поскольку стандартное отклонение количества орлов на миллион бросков равно 500, превышение 5 не является большим иметь дело. Об этом говорит закон больших чисел. Независимо от того, какой у вас сейчас избыток, если вы сделаете достаточное количество бросков, он будет очень мал по сравнению со стандартным отклонением остальных бросков. Ничто не приближает его к среднему значению, но излишек вымывается, когда вы рассматриваете среднее значение.

Предположим, вы подбросили десять решек и собираетесь сделать еще миллион подбрасываний. Каково ожидание разницы между орлом и решкой? Ну, это десять, потому что у вас уже есть десять подбрасываний, а ожидание будущих подбрасываний столько же, сколько орлов и решек.

Давайте на мгновение предположим, что в следующем миллионе бросков вы получите ровно полмиллиона орлов и полмиллиона решек. Это означает, что разница оказывается в точности ожиданием, так как с первыми десятью орлами у вас на десять больше орлов, чем решек.

Однако, если вы посмотрите на процент выпавших орлов, вы обнаружите, что, поскольку 500 010 из 1 000 010 бросков были орлами, у вас есть около 50,00005% орлов и 49,9995% решек. Так что это довольно близко к равенству.

Но, конечно, это не совсем одинаковое количество орлов и решек. Разве это не проблема? На самом деле, скорее наоборот: если за миллион подбрасываний выпадет ровно полмиллиона голов, и ни одной больше или меньше, у вас должны возникнуть подозрения. Потому что вероятность выпадения ровно полумиллиона орлов при миллионе независимых подбрасываний идеально честной монеты составляет всего около 0,032%. Хуже того, эта вероятность даже уменьшается по мере увеличения последовательности и в пределе бесконечного числа подбрасываний стремится к нулю.

В результате случайного подбрасывания правильной монеты, скорее всего, будет примерно одинаковое количество орлов и решек. Действительно, этот диапазон подсчета голов, который, вероятно, может быть обнаружен, даже увеличивается с увеличением числа подбрасываний монеты. Просто оно растет медленнее , чем количество бросков (то есть, если вы сделаете удвоенное количество бросков, диапазон, в котором вы, вероятно, обнаружите количество орлов, не будет в два раза больше; на самом деле он всего лишь в sqrt(2) раз , или примерно в 1,4 раза в целом), и поэтому диапазон для доли голов уменьшается.

Теперь этот растущий диапазон вероятного подсчета голов означает, что при достаточном количестве бросков ваши первоначальные десять голов действительно будут полностью в диапазоне вероятных подсчетов, и этот диапазон в конечном итоге будет настолько большим, что десять подсчетов будут незначительными по сравнению с отклонением, вызванным отклонением. случайные броски.

Ряды обычно сходятся, но всегда существует небольшая вероятность того, что ряд не сходится после конечного числа испытаний, поэтому противоречия нет. Если у вас уже было 100 решек, вся серия будет сходиться медленнее. Интерпретация вероятностей (степень достоверности? Объективная склонность? Частота?) является независимым вопросом.

Как оба могут быть правдой? Нет ли в физической серии бросков чего-то, что «помнит»? Разве не обязательно есть несколько более высокие шансы на выпадение решки после 10 решек?

Заметьте, что я не знаком с символической логикой, поэтому, к сожалению, формальные демонстрации находятся за пределами моего кругозора.

Я вижу это, подсчитывая возможные результаты. Допустим, вы подбрасываете монету 10 раз. Есть много результатов; Их ровно 1024 (2 в степени 10), из них только:

• один состоит только из голов
• 10 сделаны из одного хвоста и девяти голов
• 45 состоят из двух хвостов и восьми головок

...

• 120 из них содержат на две головы больше, чем решки
• 210 из них содержат на одну решку больше, чем решку
• 252 состоят из столько же решек, сколько и голов
• 210 из них содержат на один хвост больше, чем головы
• 120 из них содержат на два хвоста больше, чем головы

...

• 10 сделаны из одной головы и девяти хвостов
• один состоит только из хвостов

Общая формула получается с помощью биномиальных коэффициентов , но я пропустил формализм.

В целом, существует более высокая вероятность того, что у вас будет примерно столько же орлов, сколько и решек, потому что существует много способов упорядочить четное сочетание орлов и решек и мало способов упорядочить нечетные сочетания.

Примечание: это связано с концепцией энтропии, как и ожидается от случайности.

Не уверен, что это тот ответ, который вы ищете, но вот нематематическое, интуитивное объяснение.

Подбрасывание монеты, хотя и случайное, все же состоит из цепочки событий, которые сами по себе теоретически предсказуемы до некоторой степени — просто эти события очень сложны, и то, как они взаимодействуют (и что они из себя представляют), неизвестно.

Например, результат подбрасывания монеты может зависеть от следующих свойств:

• Форма и обработка монеты
• Материал, из которого изготовлена ​​монета
• То, как человек двигает рукой / пальцами, чтобы подбросить монету
• Физика гравитации, импульса, сопротивления воздуха и других факторов окружающей среды.
• Материал поверхности, на которую падает монета

И так далее. Если бы вы знали, как именно взаимодействуют эти свойства, и знали бы начальные условия для каждого из этих свойств, у вас могло бы быть лучшее представление о том, как может приземлиться монета (на практике это невозможно).

С точки зрения вашего вопроса, каждый бросок монеты является независимым событием, которое не может диктовать следующее событие. Это связано с тем, что каждое из начальных начальных условий будет немного отличаться. Но форма объекта будет иметь большое влияние на возможные результаты. Орел или решка определяется точным взаимодействием всех переменных в процессе. Из-за структуры монеты возможны только два исхода, и ни один из них на самом деле не более вероятен, чем другой, исходя из взаимодействия всех переменных, определяемых формой объекта. То, что толкает ее в ту или иную сторону (орел или решка), связано с тем, как физика заставляет все части системы взаимодействовать вместе.

Это означает, что вклад всех других факторов, когда дело доходит до подталкивания монеты тем или иным образом, недостаточен для того, чтобы сделать орел или решку более вероятными, чем другие. Когда все это суммируется с тысячами выборок, вы видите, что и то, и другое происходит с одинаковой вероятностью, и это происходит из-за взаимодействия всех переменных, участвующих в этой физической системе.

Однако мы также знаем, что ряд сойдется при равновесии орла и решки.

На самом деле нет.

При каждом броске вероятность того, что при следующем броске выпадет орел или решка, по-прежнему составляет 50:50. Можем ли мы перевернуть бесконечное количество решек? Мы говорим, что не можем, потому что вероятность мала , то есть это предел как x->бесконечность на 1/2^x. Математически мы можем сказать, что этот предел сходится к 0 (если мы находимся в обычной математической стране).

Но давайте теперь представим доску для дротиков, которая представляет собой единичный круг. Мы пробиваем дротик в доску, и он попадает в доску в одной случайной точке. Существует бесконечное количество точек, поэтому вероятность попадания в любую отдельную точку равна 0. И все же мы должны где-то попасть в доску! Итак, где бы мы ни касались доски, в этот момент происходило событие с вероятностью 0 . Казалось бы, это показывает, что вероятность не только не имеет причинной силы, но даже бесконечно маловероятные события могут произойти за конечное время с бесконечными возможностями.

Таким образом, если вы подбрасываете монету бесконечное число раз, мы действительно должны ожидать точного равновесия 1:1 между орлом и решкой (для честной монеты), но мы также ожидаем бесконечных серий выпадения орла и решки внутри большее бесконечное множество, и если вы потом решите просто посмотреть на эти бесконечные множества, наше ожидание для всех бесконечных множеств будет нарушено. Таким образом, мы ожидаем равновесия орла и решки на бесконечности, но мы также ожидаем, что ошибемся бесконечное число раз, соответствующее бесконечно малой части бесконечного множества бесконечных множеств.

Последовательное подбрасывание монеты создает впечатление «исторического строительства». Однако, если мы воспользуемся эквивалентным методом, мы ясно увидим, что история (память) не строится. Давайте возьмем случай подбрасывания одной монеты 1000 раз, эквивалентным методом будет подбрасывание 1000 монет один раз. При таком методе понятно, что история не строится, и если мы рассмотрим монеты, мы должны найти около 500 орлов (или решек)!

Здесь уже есть довольно много хороших математических ответов, но это SE для философии, поэтому я хотел бы предложить более философский. Я думаю, что самая интересная часть вашего вопроса:

Нет ли в физической серии бросков чего-то, что «помнит»?

потому что ответ - удивительное "да!" Просто не монета запоминает.

Предположим, я подбрасываю правильную монету десять раз и получаю результат «TTHHHTHTTT». Теперь предположим, что я подбрасываю монету еще десять раз и вместо этого получаю «ТТТТТТТТ». Пока ничего необычного.

Но ждать! Каждая из этих двух последовательностей на самом деле очень необычна — на самом деле, шансы любой из них точно такие же , как шансы выпадения орла десять раз подряд! Такой результат, как «ТТХХХТТТТ», только кажется более «случайным», чем десять решек подряд, потому что ваш мозг бессознательно выбрасывает информацию о последовательности. Для нашего мозга два результата «ТТТТТТТ» и «ТТТТТТТТ» выглядят просто как «беспорядочная смесь букв Т и Н», хотя объективно говоря, они совершенно разные.

Таким образом, причина, по которой у вас равные шансы выпасть орлом или решкой даже после девяти бросков орла подряд, заключается просто в том, что две последовательности «HHHHHHHHT» и «HHHHHHHHHH» так же вероятны, как и любая другая последовательность из десяти подбрасываний: это часть «честные монеты не имеют памяти». Но как насчет другой части? Откуда берется закон больших чисел, если все последовательности бросков равновероятны?

Я упоминал ранее, что ваш мозг бессознательно выбрасывает информацию о последовательности, когда вы смотрите на такие результаты, как «ТТТТТТТТ» или «ТТТТТТТТ», и именно поэтому эти два результата выглядят так похоже. Что ж, закон больших чисел работает, потому что он делает то же самое! Закон не предсказывает точную последовательность , которую вы получите, если подбросите монету большое количество раз — скорее, закон берет общее количество выпавших орлов, сравнивает его с общим количеством решек, а затем экстраполирует это соотношение. для все более и более длинных последовательностей сальто. Что касается закона больших чисел, то последовательность «ТТТТТТТТТ» точно такая же , как последовательность «ТТТТТТТТ» — или, если уж на то пошло, «ХХХТТТТТТ», — потому что каждая из них имеет шесть букв «Т» и четыре буквы «Т».

Так что на самом деле закон больших чисел подразумевает «нечто, что помнит» — в противном случае не было бы возможности отслеживать итоги. Хитрость в том, что «вещь, которая помнит» — это вы! Закон больших чисел зависит от вашей памяти, чтобы вы могли извлечь и использовать ее. Итак, отвечая на заключительную часть вашего вопроса, вы можете сказать, что «причинно-следственная связь вероятности» — это просто ваши ожидания, действующие на прошлые результаты: вместо того, чтобы говорить, что честность монеты «заставляет» ее выпадать решкой в ​​50% случаев, вы сказали бы, что ваш предыдущий опыт с честными монетами заставляет вас ожидать, что монета будет одинаково выпадать орлом или решкой при каждом подбрасывании. (Это общая точка зрения, принятая байсеанской вероятностью, увлекательная область математики и одна из многих возможных интерпретаций вероятности .)

Допустим, я решил нарисовать картинку, и я нарисовал черточку типа этой: «Я», а потом еще одну точно такую ​​же после нее, а потом еще одну, и так...

Это было бы утомительно, но это похоже на рисунок без памяти — каждая линия размещается так, как если бы она была первой.

По аналогии это точно так же, как бросок честной монеты или игральной кости, каждый бросок не имеет памяти .

Вопрос в том, есть ли другие способы метания, учитывающие историю? Конечно, не кубиком или монетой, но уж точно виртуальным кубиком в виртуальном мире и бросающим его аватаром.

И это было бы подобно тому, как если бы человек рисовал, зная линию, которую он провел раньше, и линию, которую он провел после, и линию, которую он рисует прямо сейчас.

Перед ним цель, а за ним история; а щас момент нарисовался.

В большинстве случаев заблуждение — и ваша проблема — становится правдой только тогда, когда события уменьшают вероятность получения тех же значений в будущем, скажем:

В моей непрозрачной банке 100 шариков. Из них 50 белых и 50 черных. Каковы шансы получить черный, если взять только один?

Это событие запоминает историю, и если вы выберете их все или только одно, шансы будут одинаковыми: 50/50.

Но ваша проблема в контрасте между неопределенностью и уже известными событиями. Все время вы должны смотреть на определение проблемы. Если прошлое не является ограничением (как это было в моем примере), то забудьте это проклятое прошлое и двигайтесь дальше:

Я бросаю монету. Каковы шансы получить решку, когда я флип?

Это ничего не говорит о прошлом, потому что подбрасывание идеальной монеты не имеет ничего общего с какими-либо физическими свойствами (неидеальная монета, то есть монета из реального мира, возможно, становится менее острой, когда падает на землю, и будущий результат может быть другим). ...). Редактировать : действительно, эта статья в Википедии, посвященная энтропии, содержит график с распределением подбрасывания монеты, и люди, знающие это, никогда больше не совершат эту ошибку, поскольку разрешено подбрасывать монеты, где у идеальной монеты будет 1 при каждом подбрасывании, хотя это будет только предельным случаем .

Большинство сторонников заблуждений думают о проблеме так:

Монета обладает качеством истинного баланса на конкретном интервале экспериментов. Если я переверну его X раз, X/2 из этих раз будут иметь желаемый результат.

Они берут (или наблюдают) исходную задачу так (без математического жаргона, иначе они не совершали бы эту ошибку):

• Предпосылкой является выбор орла или решки.
• Эксперимент заключается в подбрасывании монеты и наблюдении за результатом.
• Обычно в половине случаев выпадает орел, а в половине раз - решка.

И преобразовать их в это:

• Предпосылкой является выбор орла или решки.
• Эксперимент заключается в подбрасывании монеты и наблюдении за результатом.
• Гарантировано , что в половине случаев выпадет орел и в половине раз решка.

(В большинстве случаев они ничего не знают о дисперсии и стандартном отклонении, поэтому больше нет необходимости подробно останавливаться на этих концепциях).

Хотя разница тонка в языке, она не точна в том, что вы знаете о своей системе. Вы меняете предложения и добавляете еще одно ограничение (да: уменьшаете энтропию).

Итак: вернитесь к корням вашей проблемы. Ваша система развивается посредством итераций эксперимента? Если это так, вы получаете знания о системе и приближаетесь к общей исходной информации, которую знаете. Когда вы достигаете этого состояния, ваша энтропия становится равной 0 (здесь ровно 0 шеннонов): вы знаете, какой будет последний шар.

Однако, если ваша система не развивается с помощью итераций, общие первоначальные предложения по-прежнему применимы: тот же эксперимент, те же шансы, которые вы уже знаете (1 шанс снова и снова, и снова, и снова, и снова, и до тех пор, пока мы не умрем и дальше , или пока монета каким-то образом не остановится). быть идеальным).

Стоит упомянуть регрессию к среднему, которая является реальной вещью, хотя и совершенно акаузальной. Это не означает, что если у вас был очень маловероятный исход (8 орлов из 10 бросков), то вероятность следующего броска смещена против орла, но это означает , что >50% вероятность того, что среднее значение любой будущей выборки из десяти будет ближе к 50% орла, чем ваш текущий результат в 80%.

https://en.wikipedia.org/wiki/Regression_toward_the_mean

Любой, кто видит 80 ГОЛОВ подряд и не ожидает увидеть ГОЛОВУ при следующем броске, - идиот, и я хотел бы сыграть с вами.

Основная проблема заключается в том, что мы на самом деле не знаем, честная монета или нет, мы можем только сделать предположение , назначив априорную вероятность 50/50. Затем мы должны обновлять наше убеждение о справедливости после каждого броска. Вес, который вы придаете своему первоначальному предположению, определяет, насколько мало или насколько сильно вы должны изменить ожидания с учетом предыдущих результатов.

Интересно, что в конкретном случае подбрасывания монеты нам не нужно делать никаких предварительных предположений о честности для оптимального угадывания . Если монета честная, то не имеет значения, угадываем ли мы орла или решку.

Следовательно, оптимальная стратегия диктует, что мы всегда должны угадывать, какой результат наблюдался чаще всего, даже после единственного броска. Если монета честная, мы ничего не теряем. Но если есть даже незначительное преимущество одного результата над другим, мы, скорее всего, окажемся правы, если угадаем наиболее часто встречающийся результат.