Почему демпфирующая сила пропорциональна vvv, а не v2v2v^2?

Мы используем ( источник )

Σ Ф "=" м а "=" Ф с п р я н г + Ф г а м п

для сил, действующих на объект, совершающий затухающие гармонические колебания. Мы определяем

Ф г а м п "=" β в

где β постоянная сопротивления и в это скорость.

Мой вопрос, почему Ф г а м п пропорциональна в и не в 2 потому что если у нас есть демпфирующий маятник, демпфирующая сила должна относиться к сопротивлению воздуха (силе сопротивления), которое пропорционально в 2 :

Ф г р а г "=" 1 2 р С Д А в 2

Если мы позволим β "=" 1 2 р С Д А , мы получаем Ф г р а г "=" β в 2

Так почему же демпфирующая сила пропорциональна в и не в 2 ?

Когда скорость меньше, демпфирующая сила примерно пропорциональна v, а когда скорость значительно выше, демпфирующая сила примерно пропорциональна квадрату v.
@Shashaank Это похоже на ответ для меня ;-)
@ valerio92 Да, я думал, что это однострочный ответ, и что он более экспериментальный, и оператор может найти его в любом стандартном учебнике или сети (википедия), поэтому я не написал ответ. Ответ Герта точен.

Ответы (4)

На низкой скорости в поток жидкости вокруг объекта в основном ламинарный, а сила сопротивления имеет вязкую реакцию, которая пропорциональна в .

Но при более высокой скорости поток становится турбулентным, и необходимо учитывать силы инерции, действующие на текущую жидкость. В этих условиях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату в .

Я думаю, что это отличный ответ, однако внутри реального демпфера (автомобильного) при реальных скоростях я не могу не думать, что поток будет сильно турбулентным, поэтому следуйте больше квадратичной функции.

Затухающие гармонические колебания — чрезвычайно широкая парадигма, и существует множество физически непохожих примеров, для которых сила ведет себя совершенно по-разному в зависимости от скорости.

  • В стандартной модели трения Амонтона-Кулона имеем Ф ∝ в 0 знак ⁡ ( в ) .

  • В случае вязкого сопротивления имеем Ф ∝ в 1 .

  • Для высоких скоростей мы обычно имеем приблизительно Ф ∝ в 2 знак ⁡ ( в ) .

Причина, о которой люди любят говорить Ф ∝ в 1 это не физика, просто полученные решения имеют простую аналитическую форму. Один из способов понять, почему показатель степени 1 математически особенный, состоит в том, что в этом случае уравнения движения можно представить в виде Икс ″ + а Икс ′ + б Икс "=" 0 (однородный случай, т. е. свободные колебания). Тогда мы можем взять Икс "=" е р т , где р является комплексным числом, а решения соответствуют значениям р которые являются корнями квадратного.

Это, безусловно, причина того, что случай перетаскивания Стокса наиболее заметен в элементарных текстах. Педагогика относительно проста, а решения легко приходят и понятны.

Как указали Герт и Кайл Канос, при низких скоростях (определяемых числом Рейнольдса) поток воздуха будет ламинарным. При больших скоростях квадратичная зависимость возникает из-за турбулентности, делающей течение вдали от объекта независимым от течения в непосредственной близости от объекта. Затем можно рассмотреть изменение количества движения воздушного потока, который перехватывается объектом. Ясно, что изменение количества движения, если данное количество перехваченного воздуха пропорционально скорости, а количество перехваченного воздуха в единицу времени также пропорционально скорости, поэтому сила трения должна быть квадратичной по скорости.

При малых скоростях это рассуждение становится неверным, поток воздуха, возмущенный движущимся объектом, уже не является локальным. С помощью уравнений Навье-Стокса можно показать, что это приводит к линейной зависимости скорости трения от скорости при малых скоростях (позволяющей пренебречь в → ⋅ ∇ → в → срок). Однако это верно только для объекта, движущегося с постоянной скоростью; именно дальнодействующее воздействие движущегося объекта на жидкость заставит силу трения зависеть от всей истории траектории объекта. Общая формула для силы трения в пределе малых скоростей сферического объекта радиуса р движущийся со скоростью в → ( т ) является:

Ф → ( т ) "=" − 2 π р р 3 [ 1 3 а → ( т ) + 3 ν в → ( т ) р 2 + 3 р ν π ∫ − ∞ т а → ( т ′ ) г т ′ т − т ′ ]

где а → ( т ) ускорение объекта, ν кинематическая вязкость η р где η динамическая вязкость и р это плотность жидкости. Второй член в скобках дает известную формулу Стокса для силы трения. Первый член — это влияние инерции жидкости, если объект ускоряется, то часть жидкости будет ускоряться вместе с ним из-за граничных условий прилипания. Последний член дает влияние истории движения объекта на силу трения.

Почему "так называемый" для числа Рейнольдса, именно так он называется...
@KyleKanos Да, это то, что я имел в виду под «так называемым».
Но на самом деле это не то, что это означает, это указывает на то, что вы считаете этот термин неуместным .
Я не являюсь носителем английского языка, но Google говорит: «так называемое прилагательное, используемое для обозначения того, что что-то или кто-то обычно обозначается указанным именем или термином». Следующими в списке идут так называемые «мягкие» химические вещества, такие как фосфорная кислота» синонимы: неуместно названный, предполагаемый, предполагаемый, предполагаемый, показной, предполагаемый; чаще используется, чтобы выразить свое мнение о том, что имя или термин неуместны. «она могла доверять ему больше, чем любой из ее так называемых друзей»
Да, все эти «синонимы» указывают именно на то, что я сказал.
Первое - это то, как я его всегда использую, т.е. обычно обозначаемое значение, второе - это то, что вы говорите, когда у вас возникают проблемы с термином. Я думаю, это зависит от контекста, как лучше всего использовать и интерпретировать «так называемый».
Но число Рейнольдса — это не «обычно обозначаемое имя», а его название .
Да, это имеет смысл, я убрал прилагательное "так называемый".
Как эта формула имеет смысл? В термине «история» интеграл интегрируется от времени до отрицательной бесконечности, но здесь квадратный корень становится мнимым, и это приводит к тому, что сила становится комплексным числом, что не имеет никакого смысла. Предполагается, что он должен быть интегрирован только из т ′ который, как я предполагаю, является источником траектории (что, казалось бы, единственное, что имеет смысл, мы должны начать с некоторого набора предписанных начальных условий для состояния жидкости, и мы не обязательно можем разумно экстраполировать из них, например, объекта могло не быть в контейнере и т. д.)?
@The_Sympathizer Переменная интегрирования - это t', и она работает от минус бесконечности до t, поэтому квадратный корень является реальным в этой области интегрирования.

Это обсуждается в статье Википедии о Drag (выделено ими):

Уравнение вязкого сопротивления или линейного сопротивления подходит для объектов или частиц, движущихся через жидкость с относительно низкими скоростями, где отсутствует турбулентность (т. е. низкое число Рейнольдса , р е < 1 ). Обратите внимание, что чисто ламинарный поток существует только до Re = 0,1 согласно этому определению. В этом случае сила сопротивления примерно пропорциональна скорости, но противоположна по направлению. Уравнение вязкого сопротивления:

Ф "=" − б в

Так как автор предполагает ламинарный поток воздуха вокруг колеблющейся массы, он использует линейную форму (предел Стокса) для сопротивления.

Обратите также внимание, что квадратичная форма требует числа Рейнольдса ≳ 1000 до того, как он станет действительным (также зависит от формы движущегося объекта).

статья в Википедии, на которую вы ссылались, использует Buckingham Π теорема, доказывающая, что сила сопротивления должна быть пропорциональна в 2 ф с ( р е ) где р е "=" в А ν , так что надо иметь ф с ( Икс ) ≈ 1 Икс для маленького х
@hyportnex: Вторая ссылка подходит, правильно. Первая ссылка дает дополнительную ссылку ( здесь ), которая выводит линейную форму из уравнений NS.
Для гармонического осциллятора мы ожидаем низкие скорости и отсутствие турбулентности, поэтому мы можем использовать предел Стокса. Это ерунда. Затухающие колебания представляют собой чрезвычайно широкую парадигму, которую можно применять ко многим различным и очень непохожим физическим системам.
Почему демпфирующая сила пропорциональна vvv, а не v2v2v^2?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v