Откуда берутся уравнения для силы сопротивления?

Силы сопротивления прямо пропорциональны скорости. Это экспериментальный факт. То, что он делает, является расширением Тейлора до второй степени.

Математически это имеет смысл, потому что ожидается, что любая разумная функция будет иметь разложение в ряд Тейлора,$f(v) = a + bv + cv^2 + ....$Для достаточно низких$v$, первые три члена должны давать хорошее приближение, и, поскольку$f = 0$когда$v = 0$постоянный срок,$a$, должен быть равен нулю.

Также обратите внимание, что функция$f(v)$то есть величина сопротивления воздуха зависит от$v$сложным образом, особенно когда скорость объекта приближается к скорости звука.

Физические объяснения первых двух членов совершенно разные: линейный член возникает из-за вязкого сопротивления среды и обычно пропорционален вязкости среды и линейному размеру объекта.

Квадратичный член возникает из-за того, что снаряд должен ускорять массу воздуха, с которым он постоянно сталкивается, и это пропорционально плотности среды и площади поперечного сечения объекта.

В частности, для сферического объекта (пушечного ядра, бейсбольного мяча)$b =\beta D$и$c = \gamma D^2$где$D$обозначает диаметр сферы и коэффициенты$\beta$и$\gamma$зависят от характера среды.

Для сферического объекта в воздухе при СТП они имеют приблизительные значения$\beta = 1.6 \times 10^{-4} N·s/m^2$и$\gamma = 0.25 N·s^2/m^4$