Почему длина волны де Бройля связана с импульсом, а не с энергией?

Длина волны$\lambda$имеет направление. Или, точнее, волновое число

$$\vec{k}=2\pi \begin{pmatrix}1/\lambda_x \\ 1/\lambda_y \\ 1/\lambda_z \end{pmatrix}$$ является векторной величиной (с направлением, перпендикулярным фронтам волны).

_{(изображение из моего ответа на Значение волнового числа? )}

Поэтому имеет смысл связать волновое число$\vec{k}$с помощью

$$\vec{p}=\frac{h}{2\pi}\vec{k}$$ к импульсу$\vec{p}$которая тоже является векторной величиной, а не к энергии$E$что является скалярной величиной. Это также хорошо вписывается в специальную теорию относительности, где$(E/c, \vec{p})$составить 4-вектор и$(\omega/c, \vec{k})$составить еще один 4-вектор. Четыре вектора$(\omega/c,\vec{k})$устанавливается его 4-произведением с 4-вектором$(ct,\vec{x})$ $$\phi=-\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x}$$ давая фазу, которая является 4-скаляром.

Но тем не менее в 1924 г., когда де Бройль выдвинул эту гипотезу, даже это было еще умозрительной догадкой. Только позднее было экспериментально подтверждено, что это соотношение действительно верно не только для безмассовых фотонов, но и для массивных частиц. Первым экспериментом такого рода был эксперимент Дэвиссона-Гермера (1923—1927). В нем участвовали электроны (с известным импульсом$\vec{p}=m\vec{v}$), рассеянных поверхностью кристалла никеля (при известном расстоянии атомной сетки$d$). Судя по наблюдаемой дифракционной картине и расстоянию атомной сетки$d$они могли рассчитать длину волны$\lambda$электронов, и обнаружил, что она соответствует длине волны, предсказанной де Бройлем.$\lambda=h/p$.

Физика - это не математика!

Возможно, кто-то мог бы придумать математическую теорию, в которой длина волны квантовых волн связана с энергией, но,

Физика - экспериментальная наука!

Гипотеза де Бройля совпадает с тем, что мы видим в многочисленных экспериментах, поэтому мы считаем ее доказанной частью физики. В отличие от математиков, мы проверяем наши идеи на реальности.