Импульс фотона равен постоянной Планка по длине волны.

Похоже, вас не устраивают ответы, связанные с аксиомами. Я думаю, что вместо этого вы хотите знать мотивацию этой аксиомы, а не просто говорить, что она работает. Я не уверен, что мой ответ является исходной мотивацией, но я думаю, что его можно рассматривать как хорошую мотивацию для обоснованности$p= \frac{h}{\lambda}$. В то время как другие ответы отлично справляются с теорией, я буду решать вопрос, используя больше экспериментальную мотивацию.

Сначала мы начнем с эксперимента с двумя щелями . Этот эксперимент обычно сначала вводят как доказательство волнообразной природы света, когда свет, исходящий из одной щели, интерферирует со светом, исходящим из другой (конечно, другая интерпретация обнаруживается, если мы посылаем одиночные фотоны через щели и ту же самую интерференцию). возникает закономерность, но я отвлекся). Однако этот эксперимент работает и с электронами. Вы получаете интерференционную картину, соответствующую рассмотрению электронов как волн с длиной волны

$$\lambda=\frac hp$$

Вы получаете максимумы интенсивности, такие, что

$$\sin\theta_n=\frac{n\lambda}{d}$$

Где$\theta$- угол, образованный центральным максимумом, щелью и рассматриваемым максимумом,$d$– щелевое разделение, а$n$является целым числом.

Тогда это был бы способ экспериментально обосновать/проверить эту взаимосвязь между импульсом и длиной волны для материи, но как насчет фотонов? Эксперимент с двумя щелями не дает нам возможности проверить$p=\frac h\lambda$(из того, что я знаю. Может быть, вы могли бы определить радиационное давление на детекторе?). Давайте посмотрим на другой эксперимент.

Мы знаем, что энергия фотона из специальной теории относительности равна

$$E=pc$$

Итак, если наше соотношение количества движения верно, то должно быть так, что

$$E=\frac{hc}{\lambda}=hf$$ что-то, что можно проверить экспериментально, чтобы быть правдой. Фотоэлектрический эффект — это один из таких экспериментов, который мы могли бы провести, когда свет, падающий на материал, вызывает испускание электронов или других носителей заряда из этого материала. Чем выше частота света, тем более энергичны электроны, исходящие из материала, и можно показать, что максимальная кинетическая энергия электрона следует$K_{max}=h(f-f_0)$где$f$это частота света и$f_0$- пороговая частота, зависящая от материала (т.е. нам нужно$f>f_0$).

Я знаю, что мой ответ не приводит к фундаментальному объяснению рассматриваемого отношения, но я надеюсь, что он показывает, почему кто-то хотел бы, чтобы это была фундаментальная идея, верная при формулировании КМ. Если вам нужно более фундаментальное объяснение, я отредактирую или удалю этот ответ из-за того, что здесь уже есть несколько довольно хороших фундаментальных ответов.

Упуская из виду множество тонкостей:

Фундаментальной аксиомой квантовой механики является каноническое коммутационное соотношение$[\hat{X}, \hat{P}] = i \hbar$. В этой позиции это становится$\hat{X} \to x$и$\hat{P} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$(по модулю множества технических деталей, включая теорему Стоуна-фон Неймана и т. д.).

Другая фундаментальная аксиома квантовой механики состоит в том, что состояния с определенными значениями физической наблюдаемой должны быть собственными состояниями соответствующего эрмитова оператора. Итак, частица с импульсом$p$описывается волновой функцией$|p\rangle$удовлетворяющий$\hat{P} |p\rangle = p |p\rangle$. (Можем ли мы на законных основаниях говорить о волновой функции безмассовой релятивистской частицы — это еще одна тонкость, которую я не буду затрагивать.)

Собрав это вместе, мы имеем это в основе позиции

$$-i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} = p \psi(x) \implies \psi(x) \propto e^{i p x / \hbar}.$$ Таким образом, волновая функция пространственно периодична с периодом$\lambda = 2 \pi \hbar / p = h / p$, так$p = h / \lambda$. Этот «вывод» работает одинаково хорошо независимо от того, массивна частица или нет.

Я буду основываться на ответе Тпаркера таким образом, чтобы подчеркнуть большую общность отношений между импульсом и длиной волны.

В классической физике в качестве основы для определения импульса можно использовать очень общий результат, называемый теоремой Нётер . Входные данные для теоремы Нётер:

• принцип действия — в вольном переводе он гласит, что если один физический объект влияет на другой, то они оба должны влиять друг на друга;
• любая непрерывная симметрия , такая как вращательная симметрия или симметрия переноса времени.

Теорема Нётер говорит, что эти входные данные подразумевают существование закона сохранения, связанного с данной симметрией. Например, вращательная симметрия приводит к сохранению углового момента, а симметрия переноса времени приводит к сохранению энергии. Эти связи можно рассматривать как определения углового момента и энергии соответственно.

Если симметрия — это симметрия относительно перемещений в пространстве , грубо означая, что законы физики одинаковы во всех местах, то получающийся в результате закон сохранения — это сохранение импульса, то есть полного импульса системы. Эту связь можно рассматривать как определение импульса.

В модели, включающей электромагнитное поле, это определение импульса включает вклад электромагнитного поля — и всего, что участвует в принципе действия, влияя (и находясь под влиянием) других объектов.

В квантовой физике те же самые общие связи имеют еще один поворот: для каждой из этих симметрий у нас есть оператор, который порождает эти симметрии (подробнее см. ниже), и этот оператор является представлением квантовой теории соответствующей сохраняющейся величины. В частности, оператор импульса порождает сдвиги в пространстве. Точнее, это оператор полного импульса , производящий перемещения всей физической системы в пространстве. Этот оператор является основным компонентом любогоквантовая система, законы которой везде одинаковы. Это верно как в нерелятивистской квантовой механике, так и в релятивистской квантовой теории поля. Хотя концепция безмассовой частицы действительно включает относительность, связь между импульсом и симметрией пространственного переноса не зависит от относительности.

Теперь, как и было обещано, более подробно о том, что значит сказать, что оператор импульса «генерирует перемещения в пространстве». Как и в ответе tparker, пусть$\hat P$обозначают любой отдельный компонент оператора импульса, который генерирует переводы в этом одном направлении в пространстве. Ответ tparker уже хорошо проиллюстрировал это в случае квантовой механики одной частицы. В качестве другого примера я рассмотрю, как безмассовый фотон описывается в квантовой модели электромагнитного поля. В этой модели вместо оператора$\hat X$для положения одной частицы у нас есть операторы поля, такие как$\hat E(x)$и$\hat B(x)$представляющие электрические и магнитные поля. Эти операторы параметризованы по местоположению$x$в космосе. Я опускаю их векторные индексы, чтобы не загромождать уравнения.

Теперь фотон — это частица, которая математически создается путем применения соответствующей линейной комбинации$\hat E(x)$и$\hat B(x)$в вакуумное состояние. Такое однофотонное состояние можно записать в виде

$$|1\rangle = \int dx\ \big(f(x)\hat E(x) + g(x) \hat B(x)\big)|0\rangle$$ где$|0\rangle$состояние вакуума и где$f$и$g$являются подходящими комплексными функциями пространственной координаты$x$. Учитывая любое такое однофотонное состояние, мы можем переместить фотон в пространстве на величину$a$применив оператор$\exp(i\hat P a/\hbar)$, так: $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)|1\rangle &= \int dx\ \big(f(x)\hat E(x+a) + g(x) \hat B(x+a)\big)|0\rangle \\ &= \int dx\ \big(f(x-a)\hat E(x) + g(x-a) \hat B(x)\big)|0\rangle. \end{align*}$$ Второй шаг следует за простым изменением переменной интегрирования. Первый шаг следует из $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat E(x) &= \hat E(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \\ \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat B(x) &= \hat B(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \end{align*}$$ что это значит сказать, что$\hat P$генерирует переводы вместе с $$\hat P\,|0\rangle = 0 \hskip1cm \Rightarrow \hskip1cm \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|0\rangle = |0\rangle,$$ что говорит об инвариантности вакуумного состояния относительно трансляций. С$\hat P$также является оператором импульса по определению (как в описанной выше перспективе теоремы Нётер), говоря, что фотон имеет единственный импульс$p$равносильно утверждению, что состояние$|1\rangle$удовлетворяет $$\hat P\,|1\rangle = p\,|1\rangle.$$ (Кстати, другое уравнение$\hat P\,|0\rangle=0$показано выше, говорит, что вакуумное состояние имеет нулевой импульс.) Отсюда следует $$\exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|1\rangle = \exp\big(i p a/\hbar\big)\,|1\rangle.$$ Само по себе это неубедительно, потому что в однофотонном состоянии фотону не с чем взаимодействовать, что могло бы выявить его длину волны. Однако те же принципы по-прежнему применимы, когда мы рассматриваем фотон в контексте какого-либо интерферометра, и тогда тот факт, что фаза фотона колеблется подобно$\exp(i p a/\hbar)$имеет наблюдаемые последствия. В частности, перенос фотона на расстояние$a$такой, что$pa/\hbar = 2\pi$это то же самое, что умножить его состояние на$\exp(2\pi i)=1$. Другими словами, его длина волны $$\lambda=2\pi\frac{\hbar}{p} = \frac{h}{p}.$$ Хотя идея безмассового фотона основана на теории относительности, идея о том, что импульс и длина волны частицы связаны таким образом, на нее не распространяется. Это соотношение вытекает из очень общего факта, что оператор импульса генерирует переносы в пространстве, что показано здесь с использованием модели электромагнитного поля и проиллюстрировано Тпаркером с использованием квантовой механики одной частицы.

Для удобства пусть$k=2\pi/\lambda$и$\omega=2\pi f$. Здесь$k$называется волновым вектором и$\omega$- это версия частоты, выраженная в радианах в секунду, а не в колебаниях в секунду.

Тогда мы имеем следующие два совершенно аналогичных соотношения:

$$p=\hbar k$$

$$E=\hbar \omega .$$

Аналогия верна, потому что в теории относительности импульс относится к пространству так же, как энергия к времени.

Если вы предполагаете$p=\hbar k$, то есть прямые рассуждения, которые приводят к$E=\hbar \omega$. Если вы предполагаете$E=\hbar \omega$, есть аналогичные аргументы, которые помогут вам$p=\hbar k$. Они не независимы друг от друга. Если вы верите в одно и верите в относительность, то вы должны верить и в другое.

Это фундаментальные соотношения, которые справедливы для всей квантовой механики. Они справедливы не только для фотонов, но и для электронов и бейсбольных мячей.

С подобными вопросами «почему» вы должны решить, что вы хотите принять за фундаментальное предположение. Существуют трактовки квантовой механики, использующие различные наборы аксиом. В зависимости от того, какой набор аксиом вы выберете, эти отношения могут быть выведены или могут быть аксиомами. Если кто-то говорит вам, что у него есть доказательство одного из этих соотношений, вы должны спросить его, с каких допущений он исходил, а затем спросить себя, считаете ли вы эти допущения более надежными, чем эти соотношения. Являются ли предположения более разумными интуитивно? Лучше проверено опытным путем? Эстетически предпочтительнее?

Хорошо, это не настоящий прямой ответ на вопрос, а просто реакция на один из комментариев ОП. Мое замечание было слишком длинным, чтобы поместиться в комментарий, поэтому я поместил его в ответ, извините за это. С. Ротос сказал, что у него возникли проблемы с одним из ответов, потому что: «Да, есть определенные вещи, которые являются аксиомами и, так сказать, не выведены на самом деле, но все же должна быть какая-то интуиция или обоснование. Они не просто появиться из ниоткуда»

Но я верю, что они иногда (часто?) делают!

На самом деле, если следовать историческому ходу мыслей по этому вопросу, мы должны вспомнить Планка, который работал над решением УФ-катастрофы. Он отчаянно пытался описать излучение черного тела с помощью статистической механики. Из идеи он опробовал гипотезу о том, что излучение испускается дискретными пучками энергии E=hf. Идея, которая возникла (почти) из ниоткуда, как он сам признал (по крайней мере, без абсолютно никакого физического обоснования). Он не придавал этому никакого физического значения и считал это простым математическим трюком.

Эйнштейн, признавая, насколько хорошо результат Планка описывает экспериментальные результаты, позже заявил, что во всем этом действительно есть физический смысл. Он интерпретировал это как утверждение, что свет может также вести себя как дискретная частица с заданной энергией. Многие считают эту идею началом квантовой механики. Позже де Бройль взял обратно эту идею и отразил ее: он сказал, что если «волна», такая как свет, может быть описана как «частица», то «частица», такая как электрон, может быть описана как «волна». Эта эквивалентность осуществляется с помощью знаменитого отношения, о котором мы говорим, и его можно рассматривать как естественное следствие отношения E = hf, как это было объяснено в другом ответе.

Итак, как видите, мы вполне можем сказать, что гипотеза «E=hf» действительно из ниоткуда! Определенно не интуитивное утверждение: оно шло вразрез со всеми интуитивными представлениями того времени. Просто гипотеза, которая работала так чертовски хорошо, что мы попытались придать ей смысл... И придумали квантовую механику. Я считаю, что это то, что вы должны принять сначала как математический трюк, позже подтвержденный экспериментальным фактом.

Попытка найти интуитивный принцип для чего-то, что по своей сути так же контринтуитивно, как КМ, является, имхо, отчаянной попыткой. Все эти «парадоксы» и безумное поведение на квантовом уровне должны исходить из чего-то, что хоть немного испорчено, вы согласны?

Я вообще не согласен с идеей, что физика должна быть интуитивной. Если бы это было так, мы бы жили на плоской земле, вокруг которой вращалось бы солнце. Вот это интуиция :D