Энергия сочетается со временем, а Импульс с пространством как в QM, так и в SR. Есть ли здесь какие-либо связи?

Да, потому что по теореме Нётер сохранение энергии следует непосредственно из временной симметрии (если вы проведете эксперимент сегодня и повторите тот же эксперимент в том же месте завтра или через 100 лет, результат будет таким же), а также сохранение импульса следует непосредственно из пространственной симметрии (если вы проведете эксперимент в одном месте, затем на расстоянии 100 ярдов, затем 1 светового года, результат будет таким же).
Следствием этого является то, что, принимая нашу Вселенную в целом, энергия НЕ сохраняется в некоторых отношениях. Если бы вы провели эксперимент через 1 секунду после Большого взрыва, а затем провели его сейчас в том же месте, результаты были бы другими из-за расширения Вселенной. Одним из проявлений этого является то, что космический микроволновый фон со временем теряет энергию. Эта энергия никуда не «ушла»; это просто вне баланса.

Это великое озарение, которое вы получили, изучая взаимосвязь этих величин в разрозненных уравнениях, и оно указывает на более глубокие реальности. Так делаются научные открытия.

Это отличный вопрос, и, к сожалению, вы получили совершенно неверный ответ от RC_23.

Первое, что нужно понять, это то, что аналогия не так близка, как кажется. Соответствующей величиной в квантовой механике является гамильтониан, и на самом деле это не всегда то же самое, что и энергия системы. Например, во вращающейся рамке это разные вещи.

Еще больше нарушает аналогию тот факт, что, хотя в теории относительности время — это просто еще одна координата, в квантовой механике это не так. В QM время является параметром, и нет такого понятия, как оператор времени или наблюдаемое время. (Например, если бы вы применяли оператор времени к электрону в основном состоянии атома водорода, то в результате явно не могло бы получиться ничего толкового, и аналогично для измерения времени этой системы, что слишком просто работать как часы.)

Если мы посмотрим на квантовую механику с современной точки зрения, то по сути она не имеет ничего общего с такими вещами, как импульс или энергия. Если вы посмотрите на одну из этих формулировок, например, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 , вы увидите, что основные строительные блоки больше похожи на кубиты, чем на частицы. Можно иметь богатые, интересные квантовые системы, такие как квантовые компьютеры, для которых есть гамильтониан и параметр времени, но нет такой вещи, как импульс или положение.

Таким образом, у нас есть просто волновые функции, и гамильтониан говорит нам, как волновая функция меняется со временем. В позиции или моментуме нет ничего, что было бы присуще QM. Однако, если вы собираетесь иметь такие строительные блоки, как частицы, живущие в космосе, то вам придется подчиняться принципу соответствия, что означает, что вы должны быть в состоянии восстановить классические уравнения движения в соответствующем пределе. Обычно мы это делаем, связывая гамильтониан КМ с гамильтонианом из классической механики. Если вы посмотрите на гамильтоновы уравнения движения, то увидите, что существует симметричная обработка гамильтониана, времени, положения и импульса, описанная в вашем вопросе.

В специальной теории относительности ситуация совершенно иная, за исключением того, что мы все еще должны соблюдать принцип соответствия, чтобы мы могли восстановить законы Ньютона в нерелятивистском пределе. Аналогия энергии-импульса/времени-положения полностью корректна в СТО (в отличие от КМ), и нетрудно понять, откуда она берется. По сути, относительность — это геометрическая теория, поэтому все наши наблюдаемые в основном должны быть скалярами или четырехвекторами. (Они также могут быть тензорами более высокого ранга или их частями, но в основном они должны быть вещами, которые используют согласованный внутренний продукт и параллельный перенос согласованным образом.) Если мировая линия частицы инерционна и соединяет точки в пространстве-времени, отличающиеся на смещение$(\Delta t,\Delta x)$, то это какой-то четырехвектор.

Мы могли бы спросить об энергии и импульсе этой частицы как о отдельных объектах, но это не сработает, потому что энергия не является релятивистским скаляром, а импульс не является четырехвектором. Если мы собираемся получить величину, имеющую релятивистский смысл и каким-то образом связанную с нерелятивистскими E и p, как того требует принцип соответствия, то в конечном итоге мы должны будем иметь что-то вроде четырехвектора энергии-импульса. Теперь, если мы спросим о его четырехвекторе энергии-импульса, мы не сможем использовать правило, чтобы задать этому четырехвектору направление, если только мы не заставим его указывать в том же направлении, что и вектор смещения. (Если бы они указывали в разных направлениях, то в системе покоя частицы выбор пространственного направления для ненулевого импульса нарушил бы вращательную симметрию.)

RC_23 говорит, что это можно объяснить теоремой Нётер. Это не верно. Теорема Нётер является следствием гамильтоновой механики и только в том частном случае, когда имеется симметрия. Системе даже не обязательно иметь такую ​​симметрию, и все же в такой ситуации все эти отношения, включающие сопряженные переменные, все же должны сохраняться.

Ответ RC_23 еще больше усугубляет ошибку, пытаясь сделать какое-то неясное, но ошибочное заявление о том, что это связано с несохранением энергии в теории относительности.

Следствием этого является то, что, принимая нашу Вселенную в целом, энергия НЕ сохраняется в некоторых отношениях. Если бы вы провели эксперимент через 1 секунду после Большого взрыва, а затем провели его сейчас в том же месте, результаты были бы другими из-за расширения Вселенной. Одним из проявлений этого является то, что космический микроволновый фон со временем теряет энергию. Эта энергия никуда не «ушла»; это просто вне баланса.

Это не имеет ничего общего с вашим вопросом, который касался QM и SR, а не QM и GR. Энергия локально сохраняется в ОТО (что выражается нулевой дивергенцией тензора энергии-импульса), но не сохраняется глобально. Это отсутствие глобального сохранения не имеет ничего общего с тем фактом, что пространству-времени не хватает некоторой симметрии. Например, энергия-импульс сохраняется для асимптотически плоского пространства-времени, даже если они лишены соответствующих симметрий. Теорема Нётер просто не работает как инструмент для этой цели в ОТО по техническим причинам. Соответствующей симметрией для ОТО была бы инвариантность к диффеоморфизму, но теорема Нётер не дает сохраняющейся величины, относящейся к этой симметрии.