Почему для ОТО не существует глобальной системы отсчета?

Вы используете термин « система отсчета» , но нам нужно быть осторожными в том, что мы подразумеваем под этим. В специальной теории относительности эта фраза обычно означает инерциальную систему отсчета , т. е. систему, в которой применяется первый закон Ньютона . Очевидно, что в ОТО у нас не может быть глобальной инерциальной системы отсчета, потому что объекты ускоряются (из-за гравитации) всякий раз, когда они приближаются к массе, поэтому их поведение не является инерционным и не подчиняется первому закону Ньютона.

Более подходящим значением системы отсчета является система координат , то есть любая система координат, которую мы можем использовать для описания позиций в пространстве-времени. На самом деле у нас может быть почти глобальная система координат, но она почти всегда будет содержать сингулярности, которые ее нарушают.

Чтобы провести простую аналогию, рассмотрим систему координат, которую мы используем для описания положений на Земле, то есть долготу и широту. Теперь спросите, какова долгота Северного и Южного полюсов? Проблема в том, что все линии по долготе сходятся на полюсах, поэтому долгота там не определена. Наши координаты сингулярны на полюсах. В Земле на полюсах нет ничего особенного, проблема в наших координатах, а это значит, что наши координаты не могут охватить всю Землю, потому что они не работают на полюсах. Похожая (хотя и более сложная) вещь происходит на горизонте событий черной дыры.

Координатные сингулярности можно устранить, изменив систему координат, однако в общей теории относительности мы также сталкиваемся с сингулярностями, не связанными с причудами координат. Например, сингулярность в центре черной дыры — это истинная сингулярность, и никакая система координат там не работает. Таким образом, вся система координат, которую мы можем придумать, будет ломаться в сингулярности.

Вы упомянули расширение Вселенной — оно имеет особую точку при Большом Взрыве, т.е.$t = 0$. В этот момент мы получаем довольно неожиданный результат: расстояние между каждой точкой во Вселенной равно нулю. Опять же, в этой точке никакая система координат работать не будет.

Строго говоря, мы исключаем сингулярные точки из многообразия, которое мы используем для представления пространства-времени, т. е. Вселенная состоит из всего, кроме (истинных) сингулярностей. С этим определением у нас может быть глобальная система координат, потому что места, где она ломается, исключены по определению.

В общей теории относительности может не быть общей системы отсчета, которая выглядела бы так, как выглядит инерциальная система отсчета в специальной теории относительности. И фундаментальная глубинная причина в том, что мы не предполагали, что это должно было произойти, поэтому этого не должно было произойти. Имеет ли конкретное решение уравнения Эйнштейна такое решение или нет, должен определить эксперимент.

Почему их не существует или что происходит иначе, чтобы заставить нас сказать, что их нет? В частности, вы не можете просто брать частные производные вещей по своим координатам, как это делается в специальной теории относительности. Поскольку координаты в общей теории относительности — это только часть истории, вы фактически используете метрику нетривиальным способом для получения результатов.

И хотя в специальной теории относительности любая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета, также была инерционной, и поэтому столь же хорош этот простой способ получить такие же хорошие системы отсчета, как просто в общей теории относительности.

Общая теория относительности дает вам два варианта. Первый вариант — работать с любой системой координат и использовать метрический тензор в этой системе координат, прежде чем вы получите свои результаты. Или второй вариант: вы можете работать с кадрами, определенными в небольшой области (пространства и времени), параметризованной коэффициентом h, где метрический тензор очень близок к метрике специальной теории относительности, поэтому вы можете вычислить свои результаты, как в SR, до ошибки второго порядка в h (так что вы можете сделать их такими маленькими, как вам нравится, сделав h достаточно маленьким). А если сделать второй вариант, то действительно можно выбрать в каждой малой области (по каждому параметру h) много кадров, отличающихся друг от друга стандартными преобразованиями СР Лоренца (до порядка h).

Теперь давайте перейдем к тому, что вам сказали. Расширение не имеет к этому никакого отношения, абсолютно ничего. Кривизна на самом деле тоже не проблема. Если бы вселенная была похожа на вселенную pacman (идите в направлении x и возвращайтесь туда, где вы находитесь, но локально все выглядит как обычное плоское пространство), у вас может не быть глобальной системы координат, даже если ваше пространство может быть плоским. И да, уравнения ОТО допускают, что Вселенная везде плоская, и все же, если вы путешествуете в каком-то регионе, вы возвращаетесь туда, где были. Когда вы говорите, что многообразие плоское, это не означает, что оно не будет выглядеть искривленным, если вы поместите его внутрь объекта большего размера (это внешняя кривизна, которая зависит от вашего вложения), речь идет о внутренней кривизне, которая совершенно другая. Например, поверхность сферы имеет положительную кривизну, и вы можете сказать это, потому что, если вы попытаетесь пришить к ней заплатку, вам придется вырезать части. И поверхность седла имеет отрицательную кривизну, и вы можете сказать это, потому что, если вы попытаетесь сделать покрытие для седла плоской тканью, вам нужно будет вырезать прорези в ткани и добавить больше ткани в прорези. Но поверхность цилиндра на самом деле действительно плоская (внутренне). Это всего лишь скалярная мера кривизны (положительная, отрицательная или нулевая скалярная кривизна), а полная мера кривизны исходит из того, как изменяются векторы, транспортируемые (виртуально) по петлям.n n*(n-1)/2) чисел, чтобы полностью дать геометрию кривизны (на самом деле есть некоторые другие симметрии, поэтому вам не нужно так много, n n (n*n-1)/12, поэтому только 20 числа для нашей Вселенной). Но на самом деле суть в том, что даже если каждый вектор вокруг каждой петли может составить один и тот же угол с петлей и вернуться к самому себе (локальное свойство), все равно можно вернуться туда, где вы начали, если вы совершите долгое путешествие.

Тем не менее, вы можете использовать единую систему координат для всего вашего пространства-времени во многих ситуациях, которые люди могут захотеть сказать, что вы не можете. Например, у вас может быть пространство-время без материи и полей, кроме гравитации, с гравитационной волной, идущей, скажем, в направлении x. Он изогнут, но есть глобальная система координат. Вы даже можете поместить электромагнитное поле в том же направлении и получить пространство-время, которое не будет пустым. И это реальные решения, которые были найдены, а не просто гипотетические решения.

Вы можете иметь расширяющуюся вселенную с системой координат (x, y, z, log t), где (x, y, z) — обычные координаты FLRW, а t — обычное время FLRW с t = 0 большим взрывом. Эта система координат охватывает все, что можно охватить. Если бы вы использовали систему координат (x, y, z, log (t-1)), вы бы пропустили все, что произошло до одной секунды. Но с системой координат (x, y, z, log t) существует инвариант кривизны, который разрушается, когда log t стремится к отрицательной бесконечности, поэтому мы не можем расширять нашу систему координат дальше.

Вот что такое настоящие сингулярности. Это кривые конечной метрической длины (или конечного метрического времени), которые выходят за пределы вашей системы координат за эту конечную длину (или конечное время) и имеют локальные инварианты вещей, которые можно измерить. система координат, поэтому мы знаем, что ваша система координат не может быть расширена.

Если бы для выхода из вашей системы координат требовалось бесконечное количество времени или пространства, это не было бы странно, и если бы это занимало конечную длину, вы бы думали, что просто сделали это плохо и что-то упустили, но если локальный инвариант взорвется на Выход тогда был неизбежен. А инвариант — это измерение, которое является конечным, когда кривизна конечна, но не зависит от используемой вами системы координат.

Так что вам просто нужно использовать метрический тензор. И кривизна не проблема (теперь у вас есть примеры с кривизной с глобальными координатами), и расширение пространства не проблема (у вас есть пример с одной системой координат, которую нельзя расширить). И иногда нет глобальной системы координат (по причинам стиля pacman), что может произойти, даже если все 20 независимых компонентов кривизны равны нулю везде, кривизны нет.

Настоящая причина в том, что мы создали теорию о локальных измерениях. Таким образом, мы дали себе свободу иметь системы без глобальной системы координат. Нужна ли нам эта свобода, зависит от того, что мы видим во вселенной. Если мы увидим свидетельства существования pac-man, мы сможем справиться с этим, не меняя теорию.

Подводя итог @MikeH, я говорю, что для локальных измерений есть кадры, которые примерно такие же, как кадры SR. И что в глобальном масштабе существуют разные системы отсчета, например, движущиеся по инерции тела, которые начинаются по касательной, могут приближаться друг к другу. Если вы принимаете эти фреймы как обычные, то единственная известная причина, по которой вы не можете их использовать, — это наличие во вселенной странных вещей, таких как червоточины, дни сурка или пространство в стиле pacman. Для всех них вы могли бы сказать, что вы просто попадаете во вселенную, которая выглядит одинаково, но на самом деле отличается, поэтому я не уверен, что вас когда-либо заставят использовать локальные фреймы.

На самом деле глобальная система координат возможна. Большинство трактовок ОТО опираются на концепцию многообразия, подчеркивая, что системы координат (в общем случае) являются только локальными. Однако теоремы вложения Уитни показывают, что любое многообразие можно вложить в$R^n$для некоторого положительного целого числа$n$. Возможно, первоначальный автор не обидится, если я отвечу на тесно связанный с ней вопрос: предположим, мы устанавливаем локальную систему координат и из ее начала наблюдаем за частицей, движущейся в пространстве. Когда частица движется близко к границам локального участка, содержащего наше происхождение, как мы продолжаем описывать траекторию частицы относительно того, как она движется в соседний участок и выходит из нашего собственного? Конечно, это не будет проблемой в$R^n$, но только если мы настаиваем на измерениях, присущих только исходному многообразию.