Допускают ли уравнения Эйнштейна множественные решения, совпадающие в окрестности пространственноподобной гиперповерхности?

Вот одно из решений уравнения поля Эйнштейна:

$$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \text{ on } \{(x,y,z,t):x,y,z,t\in\mathbb R\}.$$

У него глобальная система координат, глобальная система отсчета, нет замкнутого времени, как у кривых, и известное имя — пространство Минковского.

Наше второе решение — это другое многообразие$\mathbb R^3\times \mathbb S$, что может (но не должно быть) хотя бы как$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}.$Интуитивно вы можете просто рассматривать его как подмногообразие с метрикой$ds^2=dv^2+dw^2-dx^2-dy^2-dz^2$(Я говорю вам, что поэтому следующие шаги будет легко выполнить, но вы не должны воображать, что пространство-время — это поверхность, это большее пространство, есть несколько способов сделать это, и они делают одни и те же предсказания, поэтому вы должны быть осторожны. не придавать слишком большого значения вещам, которые не влияют на ваши прогнозы). Но если вы относитесь к нему как к самостоятельному многообразию, то, поскольку топологически это цилиндр, глобальной системы координат не существует. Как многообразие само по себе, оно четырехмерно и плоско.

Итак, для второго многообразия нам нужны два участка координат, например:

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}, \text {and}$$

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}.$$

Чтобы сделать действительное многообразие, нам нужны карты перехода между картами. Вот почему я представил поверхность$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\},$просто чтобы эти карты переходов было легко увидеть. Подумайте о времени ($T$или$\tau$) как и угол, мы можем получить$v=\cos (\tau)$и$w=\sin (\tau)$(и$x=A$,$y=B$,$z=C$). Сходным образом$v=\cos (T)$и$w=\sin (T)$(и$x=X$,$y=Y$,$z=Z$). В обоих случаях,$w/v=\tan (\tau)=\tan (T)$когда$v\neq 0$. Но вся область перекрытия находится там, где$v>0$так$w/v=\tan(T)$. Итак, карта, которая отправляет$(\tau,A,B,C)$к$(T,X,Y,Z)=(\arctan \left(\tan (\tau)\right),A,B,C)$это наша карта перехода.

Теперь вы можете отказаться от$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$полностью и просто сказать, что когда в

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}$$ если вы находитесь в $\tau < 2\pi/6$и хотите переключиться на другую координату, просто измените набор $T=\tau$, $X=A$, $Y=B$, и $Z=C$. Тогда как, если вы находитесь в $\tau > 10\pi/6$и хотите переключиться на другую координату, просто измените набор $T=\tau -2\pi$, $X=A$, $Y=B$, и $Z=C$. И это то, что $\arctan \left(\tan (\tau)\right)$в конце концов, так что это не отличается, просто нам не нужно пространство вложения, нам просто нужно перейти от одной системы координат к другой, прежде чем мы покинем область ее применимости.

И идти другим путем, когда в

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}$$ если вы находитесь в $T>\pi/6$и хотите переключиться на другую координату, просто измените набор $\tau=T$, $A=X$, $B=Y$, и $C=Z$. Тогда как, если вы находитесь в $T < -\pi/6$и хотите переключиться на другую координату, просто измените набор $\tau=T+2\pi$, $A=X$, $B=Y$, и $C=Z$.

Итак, это вселенная типа дня сурка, вся вселенная просто повторяется после$2\pi$единицы времени. Без причины. У него даже нет никакой материи, не говоря уже о какой-либо кривизне (не римановой кривизне) в любом месте и в любое время. И вам придется иметь две карты координат (если вы не хотите встраивать их в более крупный набор). Но не из-за какой-либо кривизны или чего-то еще, просто потому, что это цилиндр, а цилиндры требуют более одной системы координат, если только вы не хотите иметь скачки, например, вы могли бы иметь обычное четырехмерное плоское пространство и просто идентифицировать$t=0$и$t=2\pi$и получите свою систему координат таким образом, и большинство физиков с этим согласны.

Итак, если вы посмотрите на область вблизи$t=0$из нашего первого многообразия и$T=0$из нашего второго коллектора они выглядят точно так же, как из$T=-\pi/6$весь путь к$T=\pi/6$все плоское, все пустое, все даже по Минковскому. Так что они сходятся в окрестности пространственноподобного среза$t=0$.

Но второе решение замкнуло время как кривые и, следовательно, путешествие во времени.

Но мы могли бы сделать то же самое с пространственным направлением. Имел$z$быть углом в$v,w$самолет как$\{(v,w,x,y,t)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$с метрикой$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dv^2-dw^2$в этом случае$z$направление эффективно отскакивает назад$2\pi$таким образом, вселенная повторяет себя в пространстве и по-прежнему не искривлена, и делает это без всякой причины, и технически требует как минимум две системы координат, если вы не хотите допускать прерывистых скачков значений координат.

Чтобы связать это с вашим вопросом о глобальных системах координат, эти примеры нельзя различить локально, поэтому также не имеет особого смысла придавать большое значение этим различиям. Например, если вы идете$2\pi$единиц в направлении z, и все выглядит одинаково, может быть, вселенная зациклилась, или, может быть, вселенная выглядит одинаково каждый раз.$2\pi$единицы со многими вашими копиями, поэтому каждый из вас переместился в следующий регион, который отличается, но выглядит одинаково. Оба варианта выглядят одинаково. Так насколько это может быть важно?

Для путешествий во времени это может показаться более важным, находитесь ли вы в своем собственном прошлом или просто в области пространства и времени, которая выглядит так, как выглядело ваше собственное прошлое. Но опять же, как вы собираетесь различать эти два варианта? Если вы не знаете, как определить разницу между ними, то может быть слишком рано волноваться о различиях (если они есть) между ними.