Почему эффективная масса кремния анизотропна?

Правило Неймана может фактически предсказать форму этих анизотропных тензоров эффективных масс и существование продольных и поперечных масс, если вы предоставите ему правильную информацию. Поэтому сначала я сделаю явными некоторые предварительные сведения, чтобы окончательные вычисления, приводящие к этому предсказанию, имели смысл.

Кристаллическая структура кремния имеет$O_h$(октаэдрическая) точечная группа, поэтому любая величина, связанная с самим кристаллом, должна переходить под эту точечную группу. В частности, элементы симметрии$\mathbf{A},\mathbf{B}\in O_h,$может быть задан матрицами, которые действуют на векторы$\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$к

$$(\mathbf{A}\mathbf{v})_i=A_{ij}v_j,$$ действовать друг на друга посредством $$(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}=A_{ik}B_{kj},$$ и, как следствие, должны действовать на тензоры ранга 2${\boldsymbol\sigma}\in\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3$к $$(\mathbf{A}\boldsymbol\sigma)_{ij}=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}.$$

Группа$O_h$может быть порожден тремя отражениями, которые в нашем изложении (выбирая декартовы координаты) можно записать

$$A_{ij}=\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&-1\end{bmatrix}\quad B_{ij}=\begin{bmatrix}1&&\\&&1\\&1&\end{bmatrix}\quad C_{ij}=\begin{bmatrix}&1&\\1&&\\&&1\end{bmatrix}.$$

Правило Неймана состоит в том, что любое тензорное свойство кристалла ранга 2 должно быть инвариантным относительно всех$O_h$, и потому что$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$генерировать$O_h$, это сводится к уравнениям типа$\sigma_{ij}=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}$(соответственно для$B_{ij}$и$C_{ij}$). Если вы подсчитаете это, вы действительно обнаружите$\sigma_{ij}=\sigma\delta_{ij}$- любой тензор ранга 2 (например, эффективная масса) должен быть диагональным и, следовательно, изотропным (одинаково во всех направлениях), поскольку он действует как просто скаляр$\sigma$.

Это означает, что кристаллы кремния не могут иметь какую-то «единую» (т.е. в каком-то смысле предпочтительную или уникальную) анизотропную эффективную массу. Однако в действительности зона проводимости кремния помимо одного минимума с центром в волновом векторе$\mathbf{k}=\mathbf{0}$, 6 нижних минимумов с центром в$\mathbf{k}_{+x}=\begin{bmatrix}k\\0\\0\end{bmatrix},\mathbf{k}_{-x}=\begin{bmatrix}-k\\0\\0\end{bmatrix},$и т. д. для$\mathbf{k}_{\pm y},\mathbf{k}_{\pm z}.$Обратите внимание, что каждое из этих «предпочтительных направлений» само по себе не является инвариантным относительно симметрии кристалла, и поэтому вы можете подумать, что правило Неймана исключает их существование, но на самом деле они превращаются друг в друга , поэтому они могут существовать, когда они все вместе. Точно так же эффективная масса вокруг каждой из этих точек может быть анизотропной, но вместе вы обнаружите, что эффективная масса вокруг одной точки преобразуется при симметрии кристалла в эффективную массу вокруг другой, и поэтому вся система достаточно симметрична, чтобы существовать в кристалле. . (Обратите внимание, что эффективная масса центрального минимума изотропна, как и предсказывалось.)

В явном виде мы можем определить эффективную массу как функцию $\sigma_{ij}(\mathbf{k})$из которых "хорошо" мы находимся (где$\mathbf{k}$может быть только$\mathbf{k}_{\pm x},\mathbf{k}_{\pm y},\mathbf{k}_{\pm z}$сверху и по желанию$\mathbf{0}$). Затем правило Неймана предсказывает, что эта функция должна удовлетворять

$$\sigma_{ij}(\mathbf{A}\mathbf{k})=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}(\mathbf{k})$$ для всех$\mathbf{A}\in O_h$для того, чтобы быть допущенным. Если вы вычислите это для каждого из приведенных выше генераторов, вы снова придете к некоторому набору требований для$\sigma_{ij}(\mathbf{k}).$

Сделав расчет, я получаю

$$\sigma_{ij}(\mathbf{0})=m_0\delta_{ij}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+x})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-x})=\begin{bmatrix}m_l&&\\&m_t&\\&&m_t\end{bmatrix}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+y})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-y})=\begin{bmatrix}m_t&&\\&m_l&\\&&m_t\end{bmatrix}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+z})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-z})=\begin{bmatrix}m_t&&\\&m_t&\\&&m_l\end{bmatrix},$$ где$m_{0,l,t}$- оставшиеся степени свободы после исключения всех уравнений. Они соответствуют соответственно изотропным (центральный минимум) и продольным и поперечным (анизотропные минимумы) эффективным массам. Вы можете видеть, что правило Неймана на самом деле довольно предсказуемо (42 степени свободы стали 3!): я только ввел, что существует некоторый симметричный набор привилегированных направлений, каждому из которых соответствует тензор эффективной массы, и это предполагает существование продольных и поперечных масс вдоль / перпендикулярно этим направлениям, устраняя при этом перекрестные члены. Далее, эти массы должны быть одинаковыми во всех лунках.

Чтобы получить действительно абстрактное представление о том, что здесь происходит, обратите внимание, что принцип Неймана применим только к тем величинам, которые действительно принадлежат кристаллу, без каких-либо внешних нарушений симметрии. Если бы я просто дал вам кусок кремния, вы могли бы определить и записать в виде 2-тензора эффективную массу электрона в центральном минимуме зоны проводимости, не нарушая симметрии кристалла, но вы не можете сделать это с эффективной массой в анизотропные минимумы. Вам пришлось бы выбрать один минимум, чтобы провести измерение, и тогда вы нарушили бы симметрию кристалла, и принцип Неймана нельзя винить, если полученный тензор недостаточно симметричен. Однако вы можете сохранить симметрию, поняв, что «эффективная масса вокруг анизотропных минимумов»содержит все 6 анизотропных эффективных масс в симметричном контейнере. Эта симметричная величина больше не «загрязняется» вашим выбором минимума для ее измерения, поэтому она действительно «принадлежит» только кристаллу, и вы можете применить принцип Неймана к этому более крупному объекту (который является функцией${\boldsymbol\sigma}(\mathbf{k})$) проверить структуру всех анизотропных эффективных масс сразу. В более общем смысле,$\boldsymbol\sigma$является функцией всех (непрерывных)$\mathbf{k}$-пробел в любом случае, так что принцип${\boldsymbol\sigma}(\mathbf{A}\mathbf{k})=\mathbf{A}{\boldsymbol\sigma}(\mathbf{k})$тоже так выходит.

Частичная ссылка

Тензор второго ранга, описывающий физическую величину в кубическом кристалле, имеет вид$\sigma_{ij} = \sigma\delta_{ij}$где$i$и$j$являются$\{x,y,z\}$. <...> Тем не менее опыты показывают, что эффективная масса имеет одно значение в «продольном направлении» и другое значение в «поперечном направлении».

Тензор эффективной массы описывает поведение электрона в одной долине, из которых есть шесть эквивалентных экземпляров для минимума зоны проводимости. Если бы этот тензор описывал свойства кристалла , то он действительно должен быть изотропен *). Но на самом деле он описывает свойства одной точки (ее малой окрестности) в зоне Бриллюэна — и это не$\Gamma$точка, поэтому он может быть анизотропным, не нарушая никаких принципов.

---

_{*Обратите внимание, как среднее из 6 эффективных масс эквивалентной долины становится изотропным, в отличие от каждой из масс.}

Это связано с тем, что минимумы полос кремния расположены не в центре зоны Бриллюэна, а на некотором конечном$\pm {\bf k^0_i}$. Кубическая симметрия кристалла кремния означает, что таких минимумов шесть и они находятся на одинаковом расстоянии от центра зоны ($k^0_x = k^0_y = k^0_z$). Полосы вокруг этих минимумов, однако, не являются изотропными, так что это приводит к анизотропным эффективным массам занимающих их электронов.

Обратите внимание, что это не нарушает общую симметрию системы, поскольку вращение кристаллической структуры на$90$градусов (и, таким образом, вращение зоны Бриллюэна таким же образом) приведет к тому, что каждый минимум будет переходить в другой, и, поскольку все они находятся на одном и том же энергетическом уровне, все они должны оставаться (не) занятыми.

Эталонное изображение поверхностей постоянной энергии вокруг этих минимумов: #/media/File:Silicon_conduction_band_ellipsoids.JPG

Brews ohare, CC BY-SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 , через Wikimedia Commons