Почему электрический дипольный момент (ЭДМ) электрона всегда должен соответствовать спину?

Как объясняется в комментариях, это связано с теоремой Вигнера-Экарта . Это немного сложно понять, но на самом деле это говорит о том, что если у вас есть квантово-механическая система с четко определенными характеристиками направления (в том смысле, что она находится в состоянии с четко определенным угловым моментом ), и вы изучаете свойства наблюдаемой, имеющей некоторую направленность (например, векторный оператор, такой как электрический дипольный момент), то существуют жесткие ограничения на то, как ориентация наблюдаемой и ориентация государства может взаимодействовать.

Это лучшее, что я могу подытожить, не вдаваясь в технические подробности. Так что, немного помахав руками, и поскольку единственное, что я могу сделать, это получить техническую информацию, я, пожалуй, так и сделаю.

В частности, для использования теоремы Вигнера-Экарта вам необходимо иметь:

• система в состоянии углового момента$|\ell m\rangle$, и
• наблюдаемая, которая «преобразуется как сферический тензор», т.е. набор$2k+1$наблюдаемые$T_{-k}^{(k)}$,$T_{-k+1}^{(k)}$,$\ldots$,$T_{k-1}^{(k)}$,$T_{k}^{(k)}$, множество линейных преобразований которых замкнуто относительно пространственных вращений и подчиняются тем же правилам относительно вращения, что и сферические гармоники$Y_{kq}$.
  • Помогает явный пример: векторные операторы отвечают этим требованиям, с$k=1$, установив$T_{0}^{(1)}=v_z$и$T_{\pm1}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(v_x\pm i v_y)$(до знака).

Как только вы это сделаете, теорема диктует, что ожидаемое значение вашего оператора в этом состоянии,

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle,$$ (возможно включая переход на какую-то другую ориентацию$m'$), разделится на

• «значимая» часть, обозначаемая$\langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle$, что зависит от того, в каком представлении живут состояние и наблюдаемое, т.е.$\ell$и$k$, а не по конкретной "направленности", т.е. по конкретной составляющей$q$наблюдаемого, о котором вы просите, или ориентация$m$состояния и несет всю истинную динамическую информацию об ожидаемом значении; и
• фактор, который кодирует всю зависимость от ориентации$m$и$m'$и о выборе компоненты наблюдаемой$q$, известный как коэффициент Клебша-Гордана и обозначаемый$\langle \ell m' kq|\ell m\rangle$, но без знания того, что$T$на самом деле есть.

Если вы соберете все это вместе для вашего оператора$T_{q}^{(k)}$, это читается как уравнение

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle = \langle \ell m' kq|\ell m\rangle \: \langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle .$$ Итак, давайте специализируем это на некотором векторном операторе$v$, как и электрический дипольный момент, для частицы со спином 1/2, что дает $$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle ,$$ и давайте сравним это с тем, как в этом контексте ведет себя угловой момент: $$\langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle ,$$ где$\langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle$— некоторая числовая константа.

Благодаря этому у нас теперь достаточно инструментов, чтобы справиться с претензией в том виде, в каком вы ее изложили:

электрический дипольный момент (ЭДМ) электрона должен быть коллинеарным спину.

На самом деле это означает, что в отношении ориентации наш векторный оператор практически неотличим от спина, т. е.

$$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle .$$ Или, умножая на базисные векторы$\hat{\mathbf e}_q$и суммируя$q$, мы можем восстановить векторный характер нашего уравнения: $$\langle \tfrac12 m'|\mathbf v|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|\mathbf S|\tfrac12 m\rangle ,$$ что упрощает до $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ как операторное равенство, поскольку матричные элементы, которые он рассматривает, охватывают базис пространства. И это вносит некоторый контекст в то, что подразумевается под утверждением: формально говоря, они не «параллельны» как таковые, но для всех измеримых матричных элементов, которые имеют значение, и для всех возможных компонентов (или линейных комбинаций компонентов), два оператора дают один и тот же результат по модулю мультипликативной константы. Поскольку это самое сильное заявление о пареллизме, которое вы можете сделать в квантовой механике о двух векторных операторах (которые, вообще говоря, даже не коммутируют), мы просто принимаем это как есть и сохраняем утверждение в его упрощенной форме. что легче запомнить.

---

Однако, сказав все это, вы можете сказать больше, не вдаваясь в технические подробности, по крайней мере, в обычном случае спиннинга.$1/2$систем, причем вообще без обращения к теореме Вигнера-Экарта. Более конкретно, рассмотрим следующее наблюдение наблюдения:

Для спин-$1/2$система в произвольном чистом состоянии$|\psi\rangle$, всегда есть направление$\hat{\mathbf n} \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$так что государство$|\psi\rangle$является собственным состоянием спиновой компоненты$S_{\hat{\mathbf n}}={\mathbf S}\cdot\hat{\mathbf n}$вдоль этого направления с собственным значением$+1/2$.

Это относительно легко показать с помощью различных способов, но наиболее важной частью является то, что это неверно для любого более высокого вращения. (В качестве примера$m=0$спин-$1$система никогда не будет$m=+1$собственное состояние любой другой ориентации оси и любое состояние$a|m=1\rangle+b|m=-1\rangle$с неравными ненулевыми весами$|a|\neq |b|\neq 0$не может быть собственным состоянием любого компонента спина системы.)

Более того, это наблюдение имеет несколько прямых следствий:

• Штат$|\psi\rangle$поэтому вращательно инвариантен относительно оси$\hat{\mathbf n}$.
• Это означает, что две составляющие${\mathbf S}$ортогональный к$\hat{\mathbf n}$должны иметь нулевые средние значения, иначе они нарушили бы вращательную инвариантность.
• То же верно для любого векторного оператора$\mathbf v$.

Другими словами, этого достаточно, чтобы сделать вывод, что

$$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ для всех штатов$|\psi\rangle$, и действительно, мы можем пойти дальше и заключить, что константа пропорциональности$K$в этих отношениях должны быть независимы от$|\psi\rangle$, так как все состояния (по спину$1/2$) унитарно эквивалентны посредством поворота осей координат. Введя какое-либо удобное обозначение для этой константы пропорциональности, мы получим, что $$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ для всех штатов$|\psi\rangle$.

Теперь этого недостаточно , чтобы сделать вывод, что$\mathbf v\propto \mathbf S$как операторы, как мы пришли к выводу в строгом разделе Вигнера-Экарта выше, но полная идентификация оператора не так уж далека: чтобы получить ее, вам просто нужно поступить так же, как с поляризационными тождествами, и рассмотреть многочисленные уравнения, которые вы получите, когда вы заменяете$|\psi\rangle$с каким-то другим произвольным состоянием$|\phi\rangle$а также с различными суперпозициями$|\psi\rangle \pm |\phi\rangle$и$|\psi\rangle \pm i|\phi\rangle$, и вы получите достаточно уравнений, чтобы заключить, что

$$\langle\phi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\phi| \mathbf S |\psi\rangle$$ для всех штатов$|\psi\rangle$и$|\phi\rangle$, и поэтому что $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ как операторы на этом спин-$1/2$пространство, завершая вторую версию доказательства.

Итак: это доказательство лучше? Он, безусловно, такой же строгий, как метод Вигнера-Экарта (или его можно заставить быть таковым), но на самом деле он не вписывается в более широкую структуру и предполагает, что результат ограничен вращением.$1/2$когда аргумент Вигнера-Экарта носит гораздо более общий характер. Итак, с обеих сторон есть некоторая игра, и оба аргумента заслуживают понимания и изучения.