Кто изобрел обозначение Лейбница d2ydx2d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} для *второй* производной?

Лейбниц действительно использовал это обозначение, например, в своей статье Supplementum geometriae practicae, Acta Eruditorum , апрель 1693 г., с. 179 ( ссылка на Google Книги ):

Дифференциальный символ _$dx$принадлежит Лейбницу.

Он ввел также «повторяющиеся» дифференциалы; видеть :

• Х. Дж. М. Бос, Дифференциалы и дифференциалы высших порядков в исчислении Лейбница (1974), стр. 17:

Более того, чтобы ввести дифференциалы более высокого порядка, дифференциалы первого порядка должны рассматриваться как переменные, меняющиеся в упорядоченной последовательности; если только один$dx$Считается,$ddx$не имеет смысла. Следующая цитата из Лейбница ["Monitum de characteribus алгебраич", 1710] иллюстрирует это:

Дальше,$ddx$элемент элемента или разность разностей , для количества$dx$сама по себе не всегда постоянна, а обычно постоянно увеличивается или уменьшается.

См. Также «Ранние математические рукописи Лейбница» (изд. Дж. М. Чайлда, 1920 г. - также репринт в Дувре): рукопись ответа Бернхарду Ньювентиджту, стр. 144-на :

$dx, ddx, dv, ddv, dy, ddy \ldots$

Следует отметить, что Лейбниц$xx$для$x^2$; см. стр. 151 :

Затем, поскольку$y-xx : a \ldots$

Принятый ответ не оставляет сомнений в том, что Лейбниц был первым, кто написал$d^2y/(dx)^2$для второй производной. Но так как я нашел так много вводящих в заблуждение оправданий этой записи в Интернете , я чувствую, что нужно сказать об этом кое-что дополнительно.

Большинство оправданий в приведенных выше ссылках примерно такие: «путем формальной манипуляции» или «слишком очевидно».

Чтобы объяснить, позвольте мне сначала провести простую аналогию. Никто сегодня не будет утверждать, что следующее верно

Аналогично, для Лейбница,$d$был оператором (он мог бы не называть его так, но он знал, что он действует на переменные точно так же, как$\log$) и он знал частное правило для$d$. Таким образом, он мог бы одобрить следующее общее уравнение

Это можно увидеть в статье Лейбница 1693 года, которую цитирует @ViktorBlasjo, строкой выше.$ddx:\overline{dy}^2$, где он пишет

положение$dy$константе

Его также можно найти в Eulers Institutiones Calculi Differentialis ( 1743 ) § 131.

Теперь мы будем исходить из предположения, что$x$возрастает равномерно, так что первые дифференциалы$dx, dx^I , dx^{II},\ldots$равны между собой, так что второй и более высокие дифференциалы равны нулю. Мы можем сформулировать это условие, сказав, что дифференциал$x$, то есть$dx$, считается постоянным. Позволять$y$быть любой функцией$x$; ...

Его можно найти в «Трактате о дифференциальном и интегральном исчислении» Лакруа ( 1797 г. ), стр. 96.

Pour la simplifier nous observons que l'accroissement$dx$неизменный,$f'(x)dx$se изменить en$f'(x+dx)dx$...

Резюмируя: для Лейбница, Эйлера и других уравнение

Это оставляет мне вопрос, на который, надеюсь, сможет ответить кто-то другой: когда и почему математики забыли об этом дополнительном предположении и просто приняли обозначение$\frac{d^2}{dx^2}$для того, что на самом деле должно быть написано как$\left(\frac{d}{dx}\right)^2$?

Я думаю$\frac{d^2y}{dx^2}$происходит от умножения$\frac{dy}{dx}$к$\frac{d}{dx}$. В нотации ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abuse_of_notation#Derivitive ) умножение означает итерацию.

(Отказ от ответственности. Это очень грубый ответ. Других ответов пока не было, поищу обозначения в учебнике.)

$\frac{d^2}{dx^2}$ $y$"="$\frac{d^2y}{dx^2}$слишком явно построен из$\frac{d}{dx}$$\frac{d}{dx}$ $y$"="$(\frac{d}{dx})^2$ $y$заслуживать каких-либо дальнейших объяснений.