Почему классическая корреляция в эксперименте Белла должна быть линейной функцией угла?

Я думаю, вы неправильно поняли значение мог для классической теории. В тексте под картинкой, которую вы взяли из Википедии, говорится: «Для классической корреляции существует много других возможностей при соблюдении этих побочных условий» , поэтому классичность не подразумевает линейности. Однако он исключает косинус по следующему (слегка эвристическому) аргументу:

Классический означает эвристически «все результаты измерения существуют, независимо от того, есть измерение или нет».

Возьмите поляризатор под углом$\theta$. Классические/локальные скрытые теории настаивают на том, что вероятности$P(A_\theta = A_\phi)$что фотон, прошедший под углом$\theta$ прошел бы под углом$\phi$через один и тот же поляризатор существуют все одновременно. Обратите внимание, что важно, чтобы это была вероятность обнаружить квантовую частицу — если бы мы просто говорили о непрерывной напряженности поля, как подразумевал бы ваш аргумент проекции, следующий вероятностный аргумент не работал бы. Однако экспериментально показано, что вы действительно измеряете единичные падающие фотоны.

Теперь основной вероятностный закон гласит, что

Если теперь разделить$[\theta_0,\theta_N]$в$N$одинаково большие интервалы длины$\Delta\theta = \frac{\theta_N - \theta_0}{N}$с углами$\theta_0,\dots,\theta_{N+1}$, мы получаем:

Но косинусная вероятность$P(A_{\theta_i} = A_{\theta_{i+1}})$не зависит от модуля этих углов, поэтому каждое слагаемое$P(A_0 = A_{\Delta\theta}) = \mathrm{cos}^2(\Delta\theta)$и мы имеем то, что местная скрытая теория требует:

Возьмите общую разность углов$\theta_0 - \theta_N = 90°$и$N = 89$, и вы получите это

что любой, у кого есть калькулятор, может доказать ложность. Поэтому предположение, что все$P(A_{\theta_i} = A_{\theta_{i+1}})$существует без измерения, ложно, поскольку косинус — это то, что мы измеряем.

Аргумент Белла делает очень слабые предположения о поведении двух частиц (именно поэтому он интересен). По сути, частицы представляют собой черные ящики, принимающие угол в качестве входных данных и выдающие направление вращения в качестве выходных данных. Нет никаких ограничений на то, как они выбирают направление вращения; там может быть источник истинной случайности или человек, который принимает решение. Единственные ограничения заключаются в том, что ни одному из блоков не сообщается, какой угол был задан другому блоку, и если обоим блокам задан один и тот же угол, они должны возвращать противоположные результаты.

В каждом ящике может быть секретная «реальная ось вращения» (указывающая противоположно оси другого ящика), и, получив ось измерения, он может вычислить$\cos^2$угла между этими осями. Однако он не может вернуть это как результат, потому что результат должен быть либо «вверх», либо «вниз». Он может возвращать «вверх» с вероятностью, равной квадрату косинуса, и «вниз» в противном случае. Но тогда, если бы обоим ящикам была дана одна и та же ось измерения, но это была бы не «настоящая» ось, была бы ненулевая вероятность того, что они вернут один и тот же ответ, что нарушает требование, чтобы в этом случае они всегда возвращали противоположные ответы.

Если подумать, нет другой альтернативы, кроме как заранее определить результат, который каждая коробка будет производить для каждого угла, поскольку нет другого способа гарантировать, что они всегда будут совпадать. Так что «результаты измерений предопределены» — это не допущение теоремы, это просто единственный кажущийся способ соблюсти требования при некоторых, казалось бы, самоочевидных предположениях о реальности.

Белл доказал чрезмерно общий результат, который излишне трудно понять. Вам не нужен континуум углов измерения, чтобы получить неклассический результат, достаточно трех. С тремя углами приведенный выше аргумент показывает, что существует только$2^3=8$возможные «стратегии ответов» для ящиков, которые мы можем написать UUU, UUD, UDU, ..., DDD (где U означает, что первый ящик говорит «вверх», а второй — «вниз», а D — наоборот). Два из них, UUU и DDD, приводят к тому, что блоки всегда расходятся. Все остальные шесть эквивалентны при перестановках и обмене U и D, и они приводят к совпадению клеток в 2/3 случаев, когда углы различны. Таким образом, согласие 2/3 является максимально возможным в классическом мире. Но в квантовом мире измерение электронов пары Белла вдоль осей 0°, 120° и 240° дает согласие в 3/4 случаев.

ACuriousMind дает правильный аргумент, но есть одна большая проблема со всеми аргументами Белла: существует встроенное предположение, что локальные реальные скрытые переменные (и фактически все классические значения) являются реальными числами. Но что, если все реализуемые значения физических свойств больше похожи на распределения (представьте что-то вроде нечетких чисел), а не на бесконечно точные действительные числа (т. е. математические точки)? Первоначальный «основной вероятностный закон», с которого начинается ACuriousMind и от которого зависит теорема Белла, больше не является действительным неравенством. Это означает, что тесты Белла доказывают только то, что скрытые переменные не могут быть действительными числами. На что я бы ответил: «Ну!», реальные числа строго нереализуемы в реальном мире. Значения свойств с действительными номерами будут представлять состояния с нулевой энтропией (т. е. истинные дельта-функции), нарушая третий закон термодинамики. а также нарушили бы информационную границу Бекенштейна, они не могут физически существовать. Если реализуемые значения свойств больше похожи на гауссовские распределения значений, они могут очень точно соответствовать корреляциям cos или cos^2 (какая из них зависит от конкретной настройки), полученным в реальных тестах Белла, и будут определяться в источнике запутанности. Локальность будет сохранена, и Эйнштейн будет прав.