Последовательна ли статья Белла о парадоксе ЭПР?

Мне кажется, вам неудобно брать интеграл от разрывной функции. Я предполагаю, что это всего лишь рефлекс, который можно инстинктивно импортировать из дифференциации. Фактически, вы интегрировали разрывную функцию в начальной школе при вычислении площади прямоугольника. Функция

$$f(x)=\begin{cases} a \quad x\in[0,b]\\ 0 \quad\textrm{otherwise} \end{cases}$$

представляет собой просто прямоугольник и имеет разрывы в$0$и$b$, площадь под кривой равна площади прямоугольника, т.$ab$, а функция, очевидно, интегрируема и

$$\int dx f(x)=\int_0^b dx\,a=ab.$$

теперь это глупый пример, но он просто показывает, что непрерывность и интегрируемость не имеют большого отношения друг к другу, и на самом деле кусочно-постоянные функции явно интегрируемы на компактных интервалах, значение интеграла просто сумма площадей прямоугольников. В более широком смысле кусочно-непрерывные функции интегрируемы, а площадь представляет собой сумму интегралов в каждом интервале, где функция непрерывна. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что здесь мы интегрируем не на компактном интервале, а на всей прямой, поэтому мы должны проверить, что интеграл сходится, но$A(\lambda),B(\lambda)\leq 1$для всех$\lambda$, следовательно

$$\int d\lambda p(\lambda)A(\lambda)B(\lambda)\leq\int d\lambda p(\lambda)=1$$ .

Ничего из этого не является особенно строгим с точки зрения исчисления, но я думаю, что доказательства есть в любой книге по исчислению.

Интеграл относится к любой фиксированной возможной мере вероятности, поэтому, например, он также включает случай суммы на дискретном наборе чисел и непрерывности, другие вопросы регулярности здесь неуместны. Было бы лучше заменить$d\lambda$с$d\mu(\lambda)$. Однако в результате используются только требования, согласно которым мера неотрицательна, а общая мера равна$1$не имеет значения, как указать сумму/интеграцию.

Наличие этой вероятностной меры пытается описать классическим способом (в рамках этого подхода со скрытой переменной) причину, по которой значения наблюдаемых «колеблются»: это происходит из-за флуктуации значения, если скрытая переменная$\lambda$. Идея состоит в том, что флуктуации значений наблюдаемых в КМ должны иметь характер, аналогичный сомо классических переменных классической статистической механики . Фундаментальное отличие от стандартного предположения КМ состоит в том, что здесь вероятностная мера имеет эпистемическую природу, а не онтическую.

Справедливости ради, вы правы, что предположения$A(a,\lambda) = \pm 1$и$B(b,\lambda) = \pm 1$может вызвать проблемы, если вы не будете осторожны. При выполнении интеграла есть промежуточный шаг, подобный следующему:

$$P(a, b) - P(a, c) = -\int{p(\lambda)[A(a,\lambda)A(b, \lambda) - A(a,\lambda)A(c, \lambda)]d\lambda}$$

Обратите внимание, что множитель в подынтегральном выражении справа всегда либо$0$, или$\pm2$? На самом деле, единственное место, где оно не равно нулю, это когда$A(b, \lambda) = -A(c,\lambda)$. Везде он должен быть равен 0, так как эти функции принимают только значения$\pm1$.

Теперь рассмотрим множество$\lambda$где этот коэффициент отличен от нуля. Либо это множество имеет нулевую меру и интеграл равен нулю, либо это множество имеет ненулевую площадь. Но если две комплексные функции всегда равны на измеримом подмножестве комплексной плоскости, то единственность комплексных расширений говорит о том, что равенство должно выполняться везде. Здесь сказано, что если$A(b,\lambda) = -A(c, \lambda)$иногда, тогда$A(b,\lambda) = -A(c,\lambda)$повсюду. Конечно, это нарушило бы предположение, что$c$является другим единичным вектором, чем$a$и$b$, что необходимо для завершения доказательства.

Проблема возникает из-за мысли, что$A(a,\lambda)$является непрерывной функцией. Это явно не так, по построению, и это означает, что его нельзя представить как действительную часть сложной аналитической функции. Это отличает ее от любой другой «функции вероятности», обычно используемой в квантовой механике, и я подозреваю, что именно поэтому ваша интуиция вызывает тревогу. Просто потому, что ни одна непрерывная физическая система не может дать вам функцию, которая возвращает только$\pm1$, не означает, что вам не нужно теоретически рассматривать систему, которая могла бы.

Если вам нужно еще одно место в этой теореме, где ваше математическое паучье чутье должно покалывать, взгляните на то, что она утверждает как «классическое» поведение двух частиц. Среднее значение произведения двух случайных величин никогда не равно среднему значению произведения их функций вероятности, но каким-то образом именно здесь начинается теорема. Вы не единственный, кто считает Белла математически непоследовательным.

Предположим, что интеграл (2) может быть разбит на конечную или бесконечную сумму интегралов, и в каждом интервале$A(\vec{a}, \lambda)B(\vec{b}, \lambda)$постоянна ($+1$или$-1$).

[a, b] + ]b, c] + ]c, d]...

или эквивалентно: [a, b] + [b+$d\lambda$, с] + [с+$d\lambda$, д]...

но не: [а, б] + [б, в] + [в, г]...

потому что существует бесконечное множество способов получить измерение.

Для иллюстрации без$\rho$и опуская B :

$$\begin{align}\int_aA(\lambda)d\lambda &= \int_a^bA(\lambda)d\lambda + \int_{b+d\lambda}^c A(\lambda)d\lambda + \int_{c+d\lambda}^d A(\lambda)d\lambda...\\ &=(b-a)*(+1) + (c-b-d\lambda)*(-1) + (d-c-d\lambda)*(+1)...\\ \end{align}$$

a, b, c, d — действительные значения, а$d\lambda$сократится, поэтому интеграл имеет действительное значение.

Теперь с$\rho$Мы будем иметь :

$$\int_aA(\lambda)d\lambda = \int_a^b\rho(\lambda)d\lambda - \int_{b+d\lambda}^c \rho(\lambda)d\lambda + \int_{c+d\lambda}^d \rho(\lambda)d\lambda...$$

Я не вижу, как избавиться от$d\lambda$на границе, так что я думаю, мы можем просто игнорировать их.