Почему лестничные операторы в гармонических осцилляторах работают?

Как и в случае с AccidentalFourierTransform, я не уверен, что хорошо понимаю вашу проблему.

Однако в ваших рассуждениях есть важный упущенный момент, который обычно отсутствует во многих учебниках по этим темам.

Это правда, что разложение$H$как$H= \hbar\omega( a^\dagger a + \frac{1}{2})$и взяв соотношения (вытекающие из CCR)$[a, a^\dagger] =I$во внимание можно найти набор векторов, помеченных$n \in \mathbb R$,$|n\rangle$, такой, что$\langle n|m \rangle = \delta_{nm}$, но этого ни в коем случае недостаточно , чтобы доказать, что спектр$H$является дискретным с

$$\sigma(H)= \{ \hbar \omega (n + 1/2)\:|\: n \in \mathbb N\}\:.\tag{1}$$

Упущенный факт состоит в том, что векторы$|n\rangle$образуют полный набор ортонормированных векторов.

Исследование этого вопроса необходимо, поскольку гильбертово пространство$L^2(\mathbb R)$таким образом, бесконечномерный.

Полнота не возникает из алгебраических аргументов и должна устанавливаться отдельно, сосредоточив внимание на явном виде волновых функций.$\psi_n(x) = \langle x|n\rangle$. Это базис функций Эрмита , конечная оболочка которых плотна в$L^2(\mathbb R)$, гарантируя, в свою очередь, что ортонормированное множество$\{|n\rangle\}_{n \in \mathbb N}$комплектуется как хотел. Как следствие спектральной теоремы,$H$является существенно самосопряженным на промежутке$|n\rangle$s, а спектр его единственного самосопряженного расширения равен (1).

Относительно явного сходства с аналогичными конструкциями, относящимися к$SU(2)$и теории углового момента, на самом деле можно доказать, что$L^2(\mathbb R)$является носителем (строго непрерывного) неприводимого представления группы Ли Вейля-Гейзенберга, а алгебраическая процедура основана на алгебраических манипуляциях с$a$и$a^\dagger$построение этого представления строго аналогично тому, которое используется для построения соответствующих неприводимых унитарных представлений$SU(2)$работа с лестничными операторами$J_-$и$J_+= (J_-)^\dagger$.

Ситуация с компактной группой Ли$SU(2)$однако отличается из-за известного факта, что все сильно непрерывные неприводимые унитарные представления компактной топологической группы обязательно конечномерны в силу теоремы Питера-Вейля. Эта особенность гарантирует, что чисто алгебраических манипуляций достаточно, например, для нахождения (обязательно конечного!) ортогонального базиса углового момента. Аргумент нельзя использовать для гармонического осциллятора, потому что группа Вейля-Гейзенберга не компактна и допускает бесконечномерные представления.

Ну, я не уверен, что понял ваш вопрос, поэтому я напишу, что думаю, и посмотрим, будет ли это полезно :-)

Алгебра$[a,a^\dagger]=1$все, что вам нужно для диагонали$H$, но это потому что$H$выглядит как:

$$H=\omega a^\dagger a$$

Важные наблюдаемые, а именно$H,P,X$, можно записать в виде многочленов от$a,a^\dagger$:

$$\begin{aligned} X&=a+a^\dagger\\ P&=i(a-a^\dagger)\\ H&=\omega a^\dagger a \end{aligned}$$ и, конечно, мы можем показать, что любая наблюдаемая $\mathcal O(P,X)$может быть записана как линейная комбинация мономов в $a,a^\dagger$.

Теперь по диагонали$H$то же самое, что решение эволюции операторов во времени, потому что в базисе, где$H$эволюция диагонального времени тривиальна. Но временная эволюция задается коммутатором$[\mathcal O,H]$, и используя правило произведения и линейность$[\cdot,\cdot]$, легко видеть, что если мы знаем$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$и$[a,a^\dagger]$, мы знаем коммутатор любой наблюдаемой$\mathcal O$с$H$, то есть мы знаем временную эволюцию любой наблюдаемой.

Например,

$$\begin{aligned} i\dot X&=[X,H]=\omega[a+a^\dagger,a^\dagger a]=[a,a^\dagger a]+[a^\dagger,a^\dagger a]=\\ &=\omega\left(a^\dagger[a, a]+[a,a^\dagger ]a+a^\dagger[a^\dagger,a]+[a^\dagger,a^\dagger ]a\right) \end{aligned}$$ где я использовал только алгебраические свойства $[\cdot,\cdot]$.

При этом, если мы знаем отдельные коммутаторы$[a,a]=[a^\dagger,a^\dagger]=0$и$[a,a^\dagger]=1$мы можем написать

$$\begin{aligned} i\dot X&=\omega(a-a^\dagger) \end{aligned}$$ и, взяв вторую производную, получим $\ddot X+\omega^2X=0$, то есть мы находим явный вид (ОДУ) временной эволюции $X(t)$.

Вывод: алгебра$a,a^\dagger$достаточно полностью указать коммутатор$H=\omega a^\dagger a$с любым оператором$\mathcal O(X,P)$, и поэтому этого достаточно, чтобы определить временную эволюцию любой наблюдаемой. Это, в свою очередь, означает, что, как только мы узнаем,$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$и$[a^\dagger,a]$, мы знаем собственные значения$H$.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Существует два способа введения$a,a^\dagger$операторы.

1) Способ Дирака (его можно найти в большинстве книг по КМ): мы предполагаем, что существуют два оператора$X,P$которые мы принимаем за основу, и определяем

$$H=\frac12P^2+\frac12X^2$$ вместе с $[X,P]=i$. Отсюда следует обычный анализ (см., например, здесь , где мотивируют определение $a$и диагонали $H$).

В этом методе все наблюдаемые могут быть записаны в виде многочленов от$X$и$P$, то есть как многочлены от$a,a^\dagger$.

2) Метод Вайнберга (подробнее см. Вайнберг И.): Мы предполагаем, что существует дискретный базис$|n\rangle$ $n=0,1,2,\dots$такой, что любой$\psi$можно записать как$|\psi\rangle= c_n|n\rangle$(неявная сумма). Тогда мы можем написать

$$a|n\rangle=|n-1\rangle\quad a^\dagger|n\rangle=|n+1\rangle$$ с точностью до нормализации, и это определяет оператор$a$и его коммутационные соотношения . Таким образом, мы можем доказать, что любой оператор $\mathcal O$можно записать как $$\mathcal O=o_0 \mathbb 1+o_i a^i+o_{ij}a^ia^j+o_{ijk}a^ia^ja^k$$ где $\{a^i\}=\{a,a^\dagger\}$и существуют неявные суммы по повторяющимся индексам. Доказательство этой теоремы можно найти в W. I, но смысл очень прост: любой оператор можно записать в виде линейной комбинации $a,a^\dagger$.

На этой картинке операторы$a,a^\dagger$являются «фундаментальными», и мы можем определить, например,$X=a+a^\dagger$. Теперь, как мы знаем, что$H\propto a^\dagger a$? хорошо, мы не делаем. Но WLOG мы можем написать

$$H=h_1a+h_1^*a^\dagger+h_2 a^\dagger a+\text{cubic terms}+\dots$$ но условия с $h_1$сделал бы $H$неограниченно (как видно из оценки $\langle 1|H|0\rangle$), поэтому мы должны взять $h_1=0$. Это значит, что $H=\omega a^\dagger a$плюс условия более высокого порядка. Эти члены более высокого порядка сделали бы EoM для $a$нелинейные, что означает, что мы должны пренебречь ими, если нам нужен гармонический осциллятор (который по определению является линейным).

Этот анализ показывает, как мы можем вывести обычный гармонический осциллятор, если предположим, что$a,a^\dagger$являются фундаментальными операторами. В любом случае должно быть ясно, что относимся ли мы к$a$как основной или производный, коммутатор$[a,a^\dagger]$это все, что нам нужно, чтобы найти собственные значения$H$, поскольку диагонализация$H$это то же самое, что решение эволюции во времени, которая, в свою очередь, дается выражением$[\mathcal O,H]$. Как и в 1) и 2) мы можем написать любое$\mathcal O$как многочлен от$a,a^\dagger$, как только мы узнаем$[a,a^\dagger]$мы знаем$[\mathcal O,H]$для любого$\mathcal O$.