Коммутатор положения и импульса

Question

Коммутатор положения и импульса

Эндрю Воробей

Я читаю Квантовую механику Сакураи. Одна из задач в книге просит использовать отношение

⟨ Икс | п ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{\frac{я п Икс}{ℏ}}

$\langle{x}|p\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}$ оценить

⟨ x | [X, P] | α ⟩ = ⟨ x | X P | α ⟩ - ⟨ x | P X | α ⟩

$\langle{x}|[X,P]|\alpha\rangle=\langle{x}|XP|\alpha\rangle-\langle{x}|PX|\alpha\rangle$ с точки зрения

ψ_{α} (x) = ⟨ x | α ⟩

$\psi_{\alpha}(x)=\langle{x}|\alpha\rangle$ не используя тот факт, что в

x

$x$ представление,

P

$P$ действует как

- i ℏ \frac{d}{d x}

$-i\hbar\frac{d}{dx}$ .

Я не уверен, как поступить с этим. Вот моя попытка:

Уравнения на собственные значения для оператора положения $X$ и оператор импульса $P$ соответственно

Икс | {Икс}^{'} ⟩ "=" {Икс}^{'} | {Икс}^{'} ⟩ и п | п^{'} ⟩ "=" п^{'} | п^{'} ⟩

$X|x'\rangle=x'|x'\rangle \text{ and } P|p'\rangle=p'|p'\rangle$ Так, например, оценим

⟨ x | P X | α ⟩

$\langle{x}|PX|\alpha\rangle$ :

\begin{aligned} ⟨ Икс | п Икс | α ⟩ & "=" ⟨ Икс | п Икс | \int_{- \infty}^{\infty} | {Икс}^{'} ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | α ⟩ д {Икс}^{'} \\ "=" ⟨ Икс | п | \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} | {Икс}^{'} ⟩ ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" ⟨ Икс | п | \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} | п^{'} ⟩ ⟨ п^{'} | {Икс}^{'} ⟩ д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" ⟨ Икс | п | \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} | п^{'} ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- \frac{я п^{'} {Икс}^{'}}{ℏ}} д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" ⟨ Икс | \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} п^{'} | п^{'} ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- \frac{я п^{'} {Икс}^{'}}{ℏ}} д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} п^{'} ⟨ Икс | п^{'} ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- \frac{я п^{'} {Икс}^{'}}{ℏ}} д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} п^{'} \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{\frac{я п^{'} Икс}{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- \frac{я п^{'} {Икс}^{'}}{ℏ}} д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \\ "=" \frac{1}{2 π ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} {Икс}^{'} (\int_{- \infty}^{\infty} п^{'} е^{\frac{я п^{'} (Икс - {Икс}^{'})}{ℏ}} д п^{'}) ψ_{α} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \langle{x}|PX|\alpha\rangle & = \langle{x}|PX|\int_{-\infty}^{\infty}|x'\rangle\langle{x'}|\alpha\rangle dx' \\ & = \langle{x}|P|\int_{-\infty}^{\infty}x'|x'\rangle\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \langle{x}|P|\int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}|p'\rangle\langle{p'}|x'\rangle dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \langle{x}|P|\int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}|p'\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{ip'x'}{\hbar}} dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \langle{x}|\int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}p'|p'\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{ip'x'}{\hbar}} dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}p'\langle{x}|p'\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{ip'x'}{\hbar}} dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}p'\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ip'x}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{ip'x'}{\hbar}} dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ & = \frac{1}{{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}x'\left(\int_{-\infty}^{\infty}p'e^{\frac{ip'(x-x')}{\hbar}} dp'\right)\psi_{\alpha}(x') dx' \\ \end{split} \end{equation}$

но потом я застрял, потому что средний интеграл не сходится. Я тоже почувствовал, что сделал что-то не так.

Ответы (2)

Коммутатор положения и импульса

Открытие · Answer 1

Два основных момента....

В целом $\langle{x}|[X,P]|\alpha\rangle \not= \langle{x}|XP|\alpha\rangle-\langle{x}|PX|\alpha\rangle$

Когда $[X,P]=XP-PX$ — корректно определенный оператор в гильбертовом пространстве, $H=L^2([a,b])$ , пространство интегрируемых с квадратом функций в $[a,b]$ , область определения $[X,P]$ это набор функций $|\alpha\rangle$ удовлетворяющий

$|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $X$

$|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $P$

$P|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $X$

$X|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $P$

Однако область определения $XP$ это набор функций $|\alpha\rangle$ удовлетворяющий

$|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $P$

$X|\alpha\rangle$ находится в домене оператора $P$

Аналогичным образом вы можете ожидать форму домена $PX$ .

Итак, если вы хотите утверждать, что $\langle{x}|[X,P]|\alpha\rangle = \langle{x}|XP|\alpha\rangle-\langle{x}|PX|\alpha\rangle$ , у вас должно быть дополнительное условие, $|\alpha\rangle$ является функцией в области $[X,P]$ . Попробуй доказать $\langle{x}|[X,P]|\alpha\rangle = \langle{x}|XP|\alpha\rangle-\langle{x}|PX|\alpha\rangle$ с использованием $|\alpha\rangle=|p\rangle$ и эрмитовость $X$ и $P$ . Вы можете обнаружить противоречие.

Дельта-функционал

Из последнего сегмента $\left(\int_{-\infty}^{\infty}p'e^{\frac{ip'(x-x')}{\hbar}} dp'\right) \\$ является формой преобразования Фурье $p'$ и может быть описана функциональной производной (Дирака), $\delta'(x-x')$ .

$\int_{-\infty}^{\infty}p'e^{\frac{ip'(x-x')}{\hbar}} dp'=\int_{-\infty}^{\infty}-i\hbar \frac{d}{dx}e^{\frac{ip'(x-x')}{\hbar}}dp'=-i2\pi\hbar^2 \frac{d}{dx} \delta(x-x')$ .

Я как бы возражаю против вашего пункта № 1. Соотношение коммутации гарантирует, что неравенство должно быть равенством. Единственная реальная проблема заключается в том, что некоторые авторы и расчеты используют состояния , которые не очень хорошо определены.
@DanielSank Я согласен с вами, и я просто хочу подчеркнуть важность формы государства $|\alpha \rangle$ . Например... (неуместный) парадокс уравнения 2.6 на с. 7 из arxiv.org/pdf/quant-ph/9907069.pdf

CR Дрост · Answer 2

Я думаю, вам, вероятно, нужно интегрировать этот термин по частям, снижая $k = p'/\hbar$ к $1$ при повышении $\exp[i~k~(x - x')]~dk$ в $[-i\hbar/(x - x')]~\exp[i~k~(x - x')].$

Тогда результат, который вы получите для среднего интеграла, будет

- 2 π я ℏ \frac{дельта (Икс - {Икс}^{'})}{Икс - {Икс}^{'}} .

$-2\pi i\hbar ~ \frac{\delta(x - x')}{x - x'}.$ Если вы отложите дальнейшее вычисление интеграла, другой интеграл будет таким же, но с

x

$x$ замена бесплатного

x^{'}

$x'$ , поэтому вы получите значение

x - x^{'}

$x - x'$ что сокращает знаменатель.

Другими словами: если я просто использую то, как вы решаете эту задачу, где вы можете эффективно заменить

\begin{aligned} \hat{п} \mapsto & \int д п п | п ⟩ ⟨ п |, \\ \hat{Икс} \mapsto & \int д Икс Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс |, и \\ \hat{я} \mapsto & \int д Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс |, \end{aligned}

$\begin{align} \hat P \mapsto&~ \int dp~p~|p\rangle\langle p|,\\ \hat X \mapsto&~ \int dx~x~|x\rangle\langle x|, \text{ and}\\ \hat I \mapsto&~ \int dx~ |x\rangle\langle x|,\end{align}$ тогда я могу просто написать срок

X P - P X = X P I - I P X

$X P - PX = XPI - I P X$ который имеет матричный элемент

| x ⟩ ⟨ x^{'} |

$|x\rangle\langle x'|$ с помощью

x

$x$ индекс для первого оператора и

x^{'}

$x'$ index для последнего, и просто имейте:

[Икс, п] "=" \frac{1}{2 π ℏ} ∭ д Икс д {Икс}^{'} д п (Икс - {Икс}^{'}) п е^{я п (Икс - {Икс}^{'}) / ℏ} | Икс ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | .

$[X,P] = \frac{1}{2\pi\hbar} ~ \iiint dx~dx'~dp~(x - x')~p~e^{i p (x - x')/\hbar}~|x\rangle\langle x'|.$ Вот как вы отмените

(x - x^{'})^{- 1}

$(x - x')^{-1}$ чтобы закончить проблему.

Коммутатор положения и импульса

Эндрю Воробей

Ответы (2)

Открытие

Даниэль Санк

Открытие

CR Дрост

Собственные состояния лестничных операторов

Почему [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i подразумевает eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Помогите упростить уравнение коммутатора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Почему операторы лестницы не ездят на работу?

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Коммутатор с квадратным корнем