L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Question

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

НекоторыеФизикаСтудент

Так $\hat{L}_{x}$ и $\hat{L}_{y}$ не ездить:

[{\hat{л}}_{Икс}, {\hat{л}}_{у}] "=" я ℏ {\hat{л}}_{г}

$[ \hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}] = i\hbar \hat{L}_{z}$

Но что, если мы выполним эту операцию в таком состоянии, что:

{\hat{л}}_{г} ф_{л, м_{л}} "=" ℏ м_{л} ф_{л, м_{л}},

$\hat{L}_{z} \phi_{l, m_{l}} = \hbar m_{l}\phi_{l, m_{l}},$ где мы требуем, чтобы

m_{l} = 0

$m_{l} = 0$ , так

{\hat{л}}_{г} ф_{л, м_{л}} "=" 0.

$\hat{L}_{z} \phi_{l, m_{l}} =0.$

Следовательно, для случая $m_{l}$ = 0,

[{\hat{л}}_{Икс}, {\hat{л}}_{у}] ф_{л, м_{л}} "=" 0,

$[ \hat L_{x}, \hat L_{y}] \phi_{l, m_{l}} = 0,$ и оттуда

{\hat{L}}_{x}

$\hat L_{x}$ и

{\hat{L}}_{y}

$\hat L_{y}$ поделитесь собственными состояниями! Это работает?

Любопытный Разум

Да, это работает. Они не коммутируют как операторы на всем пространстве , т.е. у них нет общего базиса собственных векторов. Не запрещено, чтобы они вообще имели общие собственные векторы.

Кайл Канос

Разве это не было бы на самом деле

[{\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}] ϕ_{m_{l} = 0} = 0

$[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]\phi_{m_l=0}=0$ ? Что не совсем означает, что

{\hat{L}}_{x}, & {\hat{L}}_{y}

$\hat{L}_x,\,\&\,\hat{L}_y$ коммутируют, просто они коммутируют с

ϕ_{m_{l} = 0}

$\phi_{m_l=0}$ .

НекоторыеФизикаСтудент

Да, ты прав, Кайл, я думаю. И спасибо вам обоим!

Ле Зунг

[{\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}] ϕ_{m_{l} = 0} = 0

$[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]\phi_{m_l=0}=0$ это не значит, что

[{\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}] = 0

$[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]=0$ . Таким образом, эти два оператора не коммутируют друг с другом. Также,

{\hat{L}}_{x}

$\hat{L}_x$ и

{\hat{L}}_{y}

$\hat{L}_y$ НЕ ездит с

ϕ_{m_{l} = 0}

$\phi_{m_l=0}$

Майкл Зайферт

Иными словами: каждый линейный оператор

O

$\mathcal{O}$ имеет подпространство векторов, для которых

O \vec{v} = 0

$\mathcal{O} \vec{v} = 0$ , называемое его нулевым пространством или ядром . Иногда это подпространство тривиально (т. е. только нулевой вектор), иногда — собственное подпространство, а иногда — все пространство (когда оператор — нулевой оператор). Вы обнаружили, что ядро оператора

O = [{\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}]

$\mathcal{O} = [\hat{L}_x, \hat{L}_y]$ нетривиален, но для коммутации двух операторов ядром коммутатора должно быть все пространство.

Даниэль Санк

@ACuriousMind, не могли бы вы объяснить этот комментарий как ответ, чтобы его можно было принять, и мы все могли пойти домой?

Ответы (2)

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Да, это работает. Они не коммутируют как операторы на всем пространстве , т.е. у них нет общего базиса собственных векторов. Не запрещено, чтобы они вообще имели общие собственные векторы.
Разве это не было бы на самом деле $[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]\phi_{m_l=0}=0$ ? Что не совсем означает, что $\hat{L}_x,\,\&\,\hat{L}_y$ коммутируют, просто они коммутируют с $\phi_{m_l=0}$ .
Да, ты прав, Кайл, я думаю. И спасибо вам обоим!
$[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]\phi_{m_l=0}=0$ это не значит, что $[\hat{L}_x,\,\hat{L}_y]=0$ . Таким образом, эти два оператора не коммутируют друг с другом. Также, $\hat{L}_x$ и $\hat{L}_y$ НЕ ездит с $\phi_{m_l=0}$
Иными словами: каждый линейный оператор $\mathcal{O}$ имеет подпространство векторов, для которых $\mathcal{O} \vec{v} = 0$ , называемое его нулевым пространством или ядром . Иногда это подпространство тривиально (т. е. только нулевой вектор), иногда — собственное подпространство, а иногда — все пространство (когда оператор — нулевой оператор). Вы обнаружили, что ядро оператора $\mathcal{O} = [\hat{L}_x, \hat{L}_y]$ нетривиален, но для коммутации двух операторов ядром коммутатора должно быть все пространство.
@ACuriousMind, не могли бы вы объяснить этот комментарий как ответ, чтобы его можно было принять, и мы все могли пойти домой?

Гоненц · Answer 1

Развивая комментарий ACruiosMind, предположим, что матрицы $A$ и $B$ определяются следующим образом:

А "=" (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix}) и Б "=" (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Обратите внимание, что собственные векторы $A$ являются

(\begin{matrix} 1 \\ 5 / 2 \end{matrix}) и (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 5/2 \end{pmatrix} \quad \text {and} \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

и собственные векторы $B$ вырождены, и его единственный собственный вектор равен

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Однако, как вы можете легко убедиться, коммутатор не исчезает, т.е.

[А, Б] "=" (\begin{matrix} - 7 & - 7 \\ 7 & 7 \end{matrix})

$[A,B]= \begin{pmatrix} -7 & -7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

Это показывает, что хотя один из собственных векторов матриц (если вам нужны операторы) одинаковы, они не коммутируют.

xjtan · Answer 2

Хотя $[ \hat{L_{x}}, \hat{L_{y}}] \phi_{l, m_{l}} = 0$ , $\phi_{l, m_{l}}$ ни то, ни другое $\hat{L_{x}}$ ни $\hat{L_{y}}$ собственное состояние.

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

НекоторыеФизикаСтудент

Любопытный Разум

Кайл Канос

НекоторыеФизикаСтудент

Ле Зунг

Майкл Зайферт

Даниэль Санк

Ответы (2)

Гоненц

xjtan

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Почему операторы лестницы не ездят на работу?

Коммутатор положения и импульса

Ограничение оператора

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Теорема Стоуна-фон Неймана

Среднее значение коммутатора в квантовой механике

Проблема углового момента в квантовой механике

Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Коммутация оператора углового момента [закрыто]