Теорема Стоуна-фон Неймана

Я заметил, что теорема Стоуна-фон Неймана не является доказательством утверждения в начале вопроса. Оригинальные доказательства теоремы Виландта-Винтнера (кстати, доказанной только в 1947-1948 гг., в то время как теорема Стоуна-фон Неймана имела удовлетворительное доказательство фон Неймана уже к 1931 г.) находятся в:

Винтнер, А. - Неограниченность квантово-механических матриц (1947, The Physical Review, Vol. 71, p. 738-739)

Wielandt, H. - Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik (1948, Mathematische Annalen, стр. 21).

Суть доказательства Виландта в примечании 6 цитируемой страницы Вики:

Значение наличия неограниченных операторов координаты и импульса на действительной оси (1D) состоит в том, что «квантовое движение» частицы не ограничено в том смысле, что либо координата, либо импульс могут быть измерены до произвольно высокого значения (бесконечного в предел), т. е. математически неограниченные операторы не имеют ограниченного спектра.

Теорема: Если два (не обязательно самосопряженных) ограниченных оператора $\hat{q}$и$\hat{p}$в гильбертовом пространстве удовлетворяют CCR

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}, \qquad i\hbar~\in~\mathbb{C},\tag{1}$$ затем $i\hbar=0$.

Косвенное доказательство: (это, по существу, доказательство работы 1.) Предположим,

$$i\hbar~\neq~ 0.\tag{2}$$ С $\hat{p}$ограничено, мы можем сдвинуть $$\hat{p}^{\prime}~:=~\hat{p}+ b{\bf 1}\tag{3}$$ на конечную положительную сумму $b>0$, так что $\hat{p}^{\prime}$является обратимым оператором, поэтому $\hat{p}^{\prime}$и $\hat{p}^{\prime -1}$оба являются ограниченными операторами. Обратите внимание, что первичный оператор $\hat{p}^{\prime}$также удовлетворяет CCR (1). С этого момента опустим простые обозначения. Спектры _ $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q}\hat{p}\hat{p}^{-1})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q})\tag{4}$$ ограниченных операторов $\hat{q}\hat{p}$и $\hat{p}\hat{q}$должны быть равными ограниченными множествами. С другой стороны, CCR (1) показывает, что спектры сдвинуты $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +i\hbar\tag{5}$$ Единственный способ, которым экв. (2), (4) и (5) могут не противоречить друг другу, если спектры представляют собой пустые множества. Однако это противоречит общему факту (упомянутому, например, в Википедии и MO.SE ), что

Факт: каждый ограниченный оператор имеет непустой спектр.

$\Box$

Замечание: Если мы дополнительно предположим, что$\hat{q}$и$\hat{p}$являются самосопряженными, нам не нужно использовать указанный выше факт. Тогда коммутатор (1) антисамосопряжен, так что$\hbar\in\mathbb{R}$должно быть реальным. Кроме того, ограниченный оператор

$$\hat{s}~:=~\hat{q}\hat{p}-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\hat{p}\hat{q} +\frac{i\hbar}{2}~=~\hat{s}^{\dagger}, \tag{6}$$ является самосопряженным и, следовательно, (из спектральной теоремы ) имеет непустой вещественный спектр $$\emptyset~\neq~\sigma(\hat{s})~\stackrel{(6)}{=}~\sigma(\hat{q}\hat{p})-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +\frac{i\hbar}{2}, \tag{7}$$ что экв. (5) без лазейки пустых множеств. $\Box$

Использованная литература:

1. А. Винтер, Phys. 71 (1947) 738 .

Сопряженные переменные/операторы связаны преобразованием Фурье, то есть (квантовые) состояния одной наблюдаемой являются преобразованием Фурье другого, и поэтому только одно из них может иметь компактную поддержку (если только это не нулевая функция). Это известно как отношение неопределенности в преобразованиях Фурье . Интуитивно это означает, что разброс переменной и ее двойственное значение Фурье обратно пропорциональны, что физически выражается, например, в том, что положение локализовано (концентрировано), а импульс делокализован (разбросан). Доказательный подход см. в ответе Qmechanic.

Физически все такие типы переменных/наблюдаемых несовместимы (некоммутирующие$XP - PX \neq 0$, где$P \propto F^{-1} X F$с$F: L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$), так как они не могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Другими словами, неопределенности двух переменных всегда ограничены средним значением их коммутатора (даже если вы производили измерения по отдельности на ансамбле из бесконечного числа одинаково подготовленных квантовых систем). Эти неопределенности являются неотъемлемым свойством любого квантового состояния.