Фон

Считается, что граница Либа-Робинсона дает некоторое представление о причинности в нерелятивистских квантовых системах с ограниченными локальными взаимодействиями. Формально это можно сформулировать следующим образом.

Теорема (Либ-Робинсон): рассмотрим$k$-локальный гамильтониан$H = \sum_{Z} h_{Z}$, где сумма пробегает подмножества$Z$кудитов. Предположим, что существуют константы$\mu, s > 0$так что для всех qudits$i$, мы можем ограничить силы взаимодействия как$\sum_{Z \ni i} \lVert h_{Z} \rVert \leq s e^{-\mu}$, где$\lVert \cdot \rVert$является операторной нормой. Теперь рассмотрим операторы$A_{X}$и$B_{Y}$которые поддерживаются на подмножествах$X$и$Y$кудитов соответственно. Определить эволюционирующий во времени оператор$A_{X}(t) = U^{\dagger}(t) A_{X} U(t)$, где$U(t) = \exp(-i H t)$. Тогда у нас есть следующая оценка:

$$\lVert \left[ A_{X}(t) , B_{Y} \right] \rVert \leq 2 \lVert A_{X} \rVert \lVert B_{Y} \rVert \min\left\{|X|, |Y|\right\} e^{-\mu (d_{H}(X,Y) - v_{LR} t)},$$

где$d_{H}(X,Y)$расстояние взаимодействия между подмножествами$X$и$Y$, и$v_{LR} = 2 k s / \mu$– скорость Либа-Робинсона.

Говорят, что это отражает понятие причинности, потому что появление$e^{-\mu (d_{H}(X,Y) - v_{LR} t)}$множитель показывает, что коммутатор$\left[ A_{X}(t) , B_{Y} \right]$экспоненциально затухает за пределами «светового конуса», определяемого$d_{H}(X,Y) - v_{LR} t \leq 0$.

Мотивация вопроса

Мой вопрос в основном о том, почему естественно рассматривать количество$\left[ A_{X}(t) , B_{Y} \right]$где только один оператор развивается во времени, а не$\left[ A_{X}(t) , B_{Y}(t) \right]$где оба оператора оцениваются одновременно. Интуитивно последнее кажется мне более естественным, так как кажется, что оно должно что-то фиксировать в поведении перекрытия этих операторов по мере их эволюции во времени. Однако этого не происходит, как показывает следующий аргумент.

Предположим, что подмножества$X$и$Y$не пересекаются, поэтому изначально$\left[ A_{X}, B_{Y} \right] = 0$. Тогда заметьте, что

поэтому, если операторы изначально коммутируют, они также коммутируют в более позднее время.

Как правило, для произвольного$t > 0$операторы$A_{X}(t)$и$B_{Y}(t)$будет иметь опору во всем гильбертовом пространстве, однако приведенный выше расчет показывает, что если они изначально действуют на непересекающиеся подмножества, то они все равно будут коммутировать все время, несмотря на их перекрытие. Итак, ясно,$\left[ A_{X}(t) , B_{Y}(t) \right]$это не то количество, которое следует учитывать, если нас интересуют понятия причинности, но единственный аргумент, который у меня есть, почему это довольно неудовлетворительно, «потому что это не говорит нам ничего нетривиального».

Вопрос

Есть ли способ увидеть это$\left[ A_{X}(t) , B_{Y} \right]$, где эволюционирует только один оператор, а не$\left[ A_{X}(t) , B_{Y}(t) \right]$, где оба оператора оцениваются одновременно, является ли более естественной величиной, которую следует учитывать при работе с понятиями причинности? В частности, я ищу ответ, который не «потому что последний не говорит нам ничего нетривиального».

Мысли об ответе

Когда я спросил об этом своего лектора, у него не было полного ответа, но он подумал, что это может быть связано с тем, что

в силу унитарной инвариантности операторной нормы. Другими словами, развитие одного оператора вперед во времени на$t$эквивалентно (по крайней мере, для оценки Либа-Робинсона) эволюции обоих операторов во времени посредством$t/2$, но один вперед во времени и один назад во времени. Однако я не уверен, почему это может сделать эту величину более «естественной» для рассмотрения.