Почему мы игнорируем члены второго порядка в следующем расширении?

Question

Почему мы игнорируем члены второго порядка в следующем расширении?

Физика
исчисление
осцилляторы
приближения
линеаризованная теория
классическая механика

Дипаншу Чаудхари

Рассмотрим разложение, сделанное для кинетической энергии системы, совершающей малые колебания, как это сделано у Гольдштейна:

Аналогичное разложение в ряд можно получить и для кинетической энергии. Поскольку обобщенные координаты не включают время явно, кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией скоростей (ср. уравнение (1.71)):
$\begin{matrix} (6.5) & Т "=" \frac{1}{2} м_{я Дж} {\dot{д}}_{я} {\dot{д}}_{Дж} "=" \frac{1}{2} м_{я Дж} {\dot{η}}_{я} {\dot{η}}_{Дж} \end{matrix}$ $T=\frac{1}{2}m_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j=\frac{1} {2}m_{ij}\dot{\eta}_i\dot{\eta}_j\tag{6.5}$ Коэффициенты $m_{ij}$ в общем случае являются функциями координат $q_k$ , но их можно разложить в ряд Тейлора о равновесной конфигурации: $м_{я Дж} (д_{1}, . . ., д_{н}) "=" м_{я Дж} (д_{01}, . . ., д_{0 н}) + (\frac{\partial м_{я Дж}}{\partial д_{к}})_{0} η_{к} + . . .$ $m_{ij}(q_1,...,q_n)=m_{ij}(q_{01},...,q_{0n})+\bigg(\frac{\partial m_{ij}}{\partial q_k}\bigg)_0 \eta_k+...$ Поскольку 6,5 уже является квадратичным в $\dot{\eta}_i$ , низшее неисчезающее приближение к $T$ получается отбрасыванием всех членов, кроме первого, в разложениях $m_{ij}$ . Обозначая постоянные значения $m_{ij}$ функции в равновесии $T_{ij}$ , поэтому мы можем записать кинетическую энергию как $\begin{matrix} (6.6) & Т "=" \frac{1}{2} Т_{я Дж} {\dot{η}}_{я} {\dot{η}}_{Дж} \end{matrix}$ $T=\frac{1}{2}T_{ij}\dot{\eta}_i\dot{\eta}_j\tag{6.6}$

Что означает выделенная курсивом часть приведенной выше цитаты? Каков порядок $\dot\eta$ такой же как $\eta$ ?

Насколько я знаю, если функция мала, это не гарантирует, что ее производная по времени тоже мала. Я ссылался на множество книг и онлайн-лекций, и ни одна из них, кажется, не объясняет это ясно.

Йонас

Привет! Желательно набирать скриншоты или изображения текста ; для формул можно использовать MathJax . Спасибо!

Ответы (3)

Почему мы игнорируем члены второго порядка в следующем расширении?

Привет! Желательно набирать скриншоты или изображения текста ; для формул можно использовать MathJax . Спасибо!

Майкл Зайферт · Answer 1

Это беспокоило и меня, когда я был студентом, и лишь намного позже я нашел строгий математический способ понимания теории возмущений. Основной ответ состоит в том, что «мы ограничиваем наше внимание возмущениями с этим свойством». Что касается деталей, мой ответ будет свободно взят из Общей теории относительности Уолда , которая дает лучшее математическое описание того, что мы здесь делаем , чем большинство текстов по классической механике.

Предположим, мы хотим решить дифференциальное уравнение $\mathcal{E}[q_i(t)] = 0$ , где $\mathcal{E}$ обозначает некоторый нелинейный оператор над функциями $q_i(t)$ . Предположим, что существует семейство точных решений $q_i(t; \lambda)$ к уравнениям движения, параметризованным параметром $\lambda$ , со следующими свойствами:

Для всех $\lambda$ , $\mathcal{E}[q_i(t; \lambda)] = 0$ ;
$q_i(t; 0) = q_{0i}(t)$ , где $q_{0i}(t)$ наше «фоновое решение»; и
$q_i(t; \lambda)$ плавно зависит $\lambda$ и $t$ .

В каком-то смысле, $\lambda$ измеряет «размер» возмущения вдали от фонового решения. В частности, поскольку все наши решения точны, мы можем сказать, что

{\frac{г}{г λ} Е [д_{я} (т; λ)] |}_{λ "=" 0} "=" 0,

$\left.\frac{d}{d\lambda} \mathcal{E}[q_i(t; \lambda)] \right|_{\lambda = 0} = 0,$ и нетрудно заметить, что это уравнение будет линейным уравнением относительно функций

γ_{я} (т) \equiv {\frac{г д_{я} (т; λ)}{г λ} |}_{λ "=" 0} .

$\gamma_{i}(t) \equiv \left. \frac{d q_i(t;\lambda)}{d\lambda}\right|_{\lambda = 0}.$ Для достаточно малых

λ

$\lambda$ , количество

q_{0 i} (t) + λ γ_{i} (t)

$q_{0i}(t) + \lambda \gamma_i(t)$ будет хорошим приближением к

q_{i} (t; λ)

$q_i(t;\lambda)$ , что позволяет нам изучать решения, которые «близки» к нашему фоновому решению.

η_{i} (t)

$\eta_i(t)$ используемый Гольдштейном, будет равен

λ γ_{i} (t)

$\lambda \gamma_i(t)$ на этом языке.

После того, как вы все это расставили по местам, довольно просто показать, что $\dot{\eta}_i(t)$ должен стремиться к нулю, так как $\lambda \to 0$ , с

\frac{г η_{я}}{г т} "=" \frac{г}{г т} [λ {\frac{г д_{я} (т, λ)}{г λ} |}_{λ "=" 0}] "=" λ {\frac{г^{2} д_{я} (т, λ)}{г т г λ} |}_{λ "=" 0}

$\frac{d \eta_i}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \lambda \left. \frac{d q_i(t, \lambda)}{d \lambda} \right|_{\lambda = 0}\right] = \lambda \left.\frac{d^2 q_i(t,\lambda)}{dt d\lambda} \right|_{\lambda = 0}$ и предположение о гладкости семейства

q_{i} (t; λ)

$q_i(t;\lambda)$ гарантирует, что эта вторая производная существует.

Чтобы понять, почему именно предположение о гладкости спасает нас от рассматриваемой вами патологии, рассмотрим однопараметрическое семейство функций

ф (т; λ) "=" λ грех (т / λ) .

$f(t; \lambda) = \lambda \sin (t/\lambda).$ Это, безусловно, так, как

λ \to 0

$\lambda \to 0$ , у нас есть

η \to 0

$\eta \to 0$ но

\dot{η} ↛ 0

$\dot{\eta} \not\to 0$ . Но это семейство функций не является гладким в

λ

$\lambda$ , с

\frac{г ф}{г λ} "=" грех (т / λ) - \frac{т}{λ} потому что (т / λ)

$\frac{df}{d\lambda} = \sin(t/\lambda) - \frac{t}{\lambda}\cos(t/\lambda)$ и это не четко определено в

λ = 0

$\lambda = 0$ . Однако предположение о «гладком семействе решений» означает, что мы устранили такую патологию в первую очередь, и поэтому нам не нужно беспокоиться о таких случаях, когда мы пытаемся линеаризовать наши уравнения.

Андрей · Answer 2

Вы правы, что $\eta$ быть маленьким в какой-то момент времени, то $\dot\eta$ не должен быть маленьким в то время. Но на самом деле предположение таково, что $\eta$ всегда мал . Это вообще означает , что $\dot\eta$ мало, так как если $\dot \eta \Delta t \gg 1$ в какое-то маленькое временное окно $\Delta t$ , затем $\eta$ через какое-то время станет большим $\Delta t$ (это предполагается $\eta$ является безразмерным, иначе вам пришлось бы разделить левую и правую части этого неравенства на некоторый параметр, чтобы сделать обе части безразмерными).

В этом есть тонкость $\dot\eta$ может быть большим в течение очень короткого периода времени; другими словами, если $\dot\eta$ меняется очень быстро, так что мы не можем выбрать $\Delta t$ который достаточно мал, чтобы $\dot\eta$ приблизительно постоянна и достаточно велика, чтобы $\dot \eta \Delta t \gg 1$ . Это может произойти для высокочастотных колебаний в простом гармоническом движении. Однако среднее время $\dot\eta$ еще мал. Следовательно, влияние членов более высокого порядка в $\dot\eta$ оказывают небольшое влияние на общее движение, даже если они могут быть большими в течение короткого промежутка времени.

Другой способ оправдать это — проверить в конце, что вы сделали самосогласованное приближение. Другими словами, вы можете продолжить, предполагая, что члены более высокого порядка малы, получить решение, а затем проверить, какой эффект дает добавление членов более высокого порядка. Если вы последовательно предполагаете, что у вас небольшие колебания, члены более высокого порядка не окажут большого влияния на частоту колебаний.

@Michael Seifert Отличные ответы! Какое место в приведенном выше аргументе занимает ответ Майкла Зайферта? Приведенный выше ответ, похоже, не накладывает явных ограничений на семейство возмущений. Я бы предположил, что «Однако усредненное по времени η˙ все еще мало» имеет неявное «предположение о гладкости».
@Lost Я думаю, что мы с Майклом в конечном итоге говорим что-то очень похожее, но на разных языках. Я бы резюмировал аргумент Майкла следующим образом: «Мы предполагаем, что можем взять гладкий предел, когда сила возмущения стремится к нулю, где пертурбативное решение исчезнет». Как говорит Майкл, это предположение существенно ограничивает наше внимание ситуациями, в которых это происходит. Это связано с тем, что я говорю о том, как «вы можете проверить, что сделали самосогласованное приближение». Гладкость в ответе Майкла должна гарантировать, что возмущения останутся малыми (...)
(...), что, в свою очередь, подразумевает, что эффект любых больших производных (например, от большой частотной составляющей) должен усредняться из решения. Я должен был бы подумать об этом больше, чтобы сказать что-то более точное. Но я думаю, что эти вопросы взаимосвязаны.
@Lost: в формализме, который я описываю в своем ответе, оба $\eta$ и $\dot{\eta}$ остаются малыми по величине мгновенно, а не только в усредненном во времени смысле. Любое решение, для которого $\dot{\eta}$ остается большим в пределе $\lambda \to 0$ исключается предположением о гладкости (иначе вторая производная от $q_i(t;\lambda)$ не существовало бы). Я не могу сразу увидеть, эквивалентен ли этот критерий усреднения по времени предположению о гладкости; Мне придется подумать об этом дальше.
Я думаю, может быть, тонкость в том, что $\dot\eta$ не является безразмерным, поэтому говорить, что он «большой» или «маленький», на самом деле не имеет смысла. Причина, по которой я упомянул эту тонкость, заключается в том, что у вас могут быть «маленькие» колебания даже для «больших» частот. Для простого гармонического движения, если максимальная амплитуда $A$ , то максимальная амплитуда производной по времени равна $A \omega$ , так что даже если $A$ тогда "маленький" $A \omega$ может быть "большим", если $\omega$ большой. Однако более тщательное определение должно использовать безразмерную величину. (...)
(...) Не задумываясь об этом очень долго, естественное безразмерное соотношение для использования было бы $\dot{\eta}/\omega$ где $\omega$ - это частота колебаний - меня не удивит, если ответ Майкла каким-то образом строится в безразмерном соотношении. Я не знаю, обобщается ли то, что я говорю, за пределами простого гармонического движения, но, по крайней мере, в этом случае, поскольку $1/\omega$ является версией интеграла по времени в частотной области, это отношение также подразумевает некоторое усреднение во временной области.

Эли · Answer 3

за одну обобщенную координату $~q~$ кинетическая энергия

Т "=" \frac{1}{2} м (д) {\dot{д}}^{2}

$T=\frac 12 \,m(q)\,\dot q^2$

$q\mapsto q_0+\eta~$ где $~\eta~$ маленький и $~q_0 ~$ состояние равновесия $~q_0~=$ постоянный .

\dot{д} "=" \dot{η} Т \mapsto \frac{1}{2} м (д) {\dot{η}}^{2}

$\dot q=\dot\eta\\ T\mapsto \frac 12 \,m(q)\,\dot\eta^2$

возьмем разложение Тейлора для $~m(q)~$ вы получаете

м \mapsto м (д_{0}) + \frac{г м}{г д} |_{д_{0}} η Т "=" \frac{1}{2} [м (д_{0}) + \frac{г м}{г д} |_{д_{0}} η] {\dot{η}}^{2}

$m\mapsto m(q_0)+ \frac{dm}{dq}\bigg|_{q_0}\,\eta\\ T=\frac 12\,\left[ m(q_0)+ \frac{dm}{dq}\bigg|_{q_0}\,\eta\right]\dot\eta^2$

так $~\eta\,\dot\eta^2\mapsto 0$

Я думаю, что если $~\dot\eta(t)~$ маленький поэтому $~\eta\,\dot\eta^2~$ тоже мал. например

\begin{aligned} \dot{η} (т) & "=" а ю потому что (ю т) \\ η (т) & "=" а грех (ю т) \\ η {\dot{η}}^{2} & "=" а^{3} ю^{2} грех (ю т) {потому что}^{2} (ю т) ≪ 1 \end{aligned}

$\begin{align} \dot\eta(t)&=a\,\omega\cos(\omega\,t) \\ \eta(t)&=a\,\sin(\omega\,t)~\\ \eta\,\dot\eta^2&=a^3\,\omega^2\,\sin(\omega\,t)\,\cos^2(\omega\,t) \ll 1 \end{align}$

где $~ a\,\omega \ll 1~$ потому что $~\dot\eta~$ маленький!! нет $~\eta$

Почему мы игнорируем члены второго порядка в следующем расширении?

Дипаншу Чаудхари

Йонас

Ответы (3)

Майкл Зайферт

Андрей

Потерянный

Андрей

Андрей

Майкл Зайферт

Андрей

Андрей

Эли

Осциллятор с затухающей возвращающей силой

Почему энергию в системе обычно можно описать с помощью квадратных выражений?

Скорость малых колебаний

Лагранжиан для нелинейных малых колебаний

Лагранжева механика - небольшие колебания вокруг равновесной диагонализации

Какие различные приближения дают гравитоэлектромагнетизм и уравнения слабого поля Эйнштейна?

Вывод Ландау кинетической энергии свободной частицы — разложение функции?

Что именно синусоидальная волна представляет по отношению к звуковым волнам?

Как расширить ⟨x′−Δx′|α⟩⟨x′−Δx′|α⟩\langle x'-\Delta x'\rvert \alpha\rangle?

Какова амплитуда предельного цикла осциллятора Ван-дер-Поля?