Какова амплитуда предельного цикла осциллятора Ван-дер-Поля?

Так что я ни в коем случае не эксперт по предельным циклам, но я заинтригован этой проблемой, поэтому вот что я придумал.

Давайте рассматривать нелинейный член пертурбативно. Этого будет недостаточно, чтобы доказать существование предельного цикла при больших значениях$\mu$, но учитывая, что видимо есть доказательство того, что это работает пертурбативно, нам этого будет достаточно.

Возьмем анзац

$$\begin{equation} x(t)=\bar{x}(t)+\mu \delta(t) \end{equation}$$ где $$\begin{equation} \bar{x}(t)=a\cos(\omega_0 t) \end{equation}$$ Здесь $\mu\delta(t)$является небольшим возмущением. Просто чтобы быть ясным, я думаю о $\mu$как малый параметр, $\delta$не маленькая функция. Я предполагаю, что возмущение будет масштабироваться как $\mu$(в отличие от $\mu^2$или $\mu^3$), это будет оправдано позже. (хорошо, я на самом деле не оправдываю это позже. Дело в том, что $O(\mu)$приведенное ниже уравнение не дало бы никакой полезной информации, если бы это масштабирование было неправильным).

Кстати, если бы мы могли вычислить форму предельного цикла для больших$\mu$мы могли бы обобщить анализ, сделав$\bar{x}$равным предельному циклу, а затем выполняются все шаги, описанные ниже. Дело в маленьком$\mu$приближение состоит в том, что предельный цикл должен приблизительно соответствовать траектории гармонического осциллятора в этом пределе. Я мало что знаю об этом, но не удивлюсь, если есть способ рассчитать кривую предельного цикла.

Мы ожидаем, что произойдет особое значение$a$такой, что этот анзац стабилен (имеется в виду, что$\delta$не взорвется). Численно вы обнаружили, что это значение равно$a=2x_0$, мы хотели бы посмотреть, сможем ли мы увидеть это также с точки зрения раздражения.

Таким образом, мы расширяем уравнение. В$O(\mu^0)$, мы находим уравнение гармонического осциллятора, конечно.

В$O(\mu)$мы получаем уравнение для$\delta$:

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = (x_0^2 -\bar{x}^2)\dot{\bar{x}} \end{equation}$$

После заполнения формы для$\bar{x}$и, используя некоторые триггерные тождества, находим

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = a \omega_0 x_0^2 \sin(3\omega_0 t) + a\omega_0 (a^2-4x_0^2) \cos^2 \omega_0 t \sin \omega_0 t \end{equation}$$

Это вынужденный гармонический осциллятор: в правой части есть два вынуждающих члена. Смотрим на второй:

$$\begin{equation} \cos^2(\omega_0 t)\sin(\omega_0 t) = \sin(\omega_0 t) - \sin^3(\omega_0 t) = \frac{1}{4}\sin(\omega_0 t) + \frac{1}{4} \sin(3 \omega_0 t) \end{equation}$$

Здесь несколько терминов, но проблема в том, что есть термин с частотой$\omega_0$. Это приводит генератор в движение на его резонансной частоте, создавая нестабильность.

Таким образом, флуктуации неустойчивы, пока присутствует этот второй член.

Но именно когда$a=2x_0$, опасное резонансное возбуждение исчезает, и флуктуации становятся устойчивыми.

Вуаля.