Почему мы предполагаем, что вес действует через центр масс?

Другие ответы здесь, которые показывают, что гравитация не оказывает крутящего момента на объект, верны. Однако они полагаются на следующий неявный логический шаг, чтобы получить ответ, который хочет ОП:

Объект, на который действует сила, но на который не действует крутящий момент, выглядит так, как будто он вытягивается из своего центра масс .

Это справедливо только для идеальных твердых тел . В случае упругих объектов ОП абсолютно верен, поскольку гравитация действительно действует на каждую отдельную частицу в объекте. Вот почему, среди прочего, балки гнутся под собственным весом.

В качестве уточнения, которое, возможно, не было сделано так ясно в других ответах: нет, вес тела не действует через центр его массы, и в таком допущении нет необходимости. Однако можно показать (см. ответ @tomph), что сумма всех гравитационных сил (которые действительно действуют на любую маленькую часть тела) может быть эквивалентно заменена одной силой через центр масс объекта, если это объект можно считать жестким. «Эквивалентно» в этом утверждении относится к тому факту, что, когда мы вычисляем, например, силы, необходимые для удержания такого объекта на месте (скажем, с помощью «столбов»), результат будет точно таким же, независимо от того, используем ли мы единую силу веса. действующий через его центр масс или фактическое распределение веса объекта.

Короче говоря, модель единой силы, действующей через центр масс, представляет собой очень удобное упрощение, но не является ни необходимым допущением, ни отражающим реальность. Как уже говорили другие, когда мы хотим описать поведение деформируемых тел или обсудить распределение внутренних нагрузок в теле, эта модель перестает быть адекватной или полезной или даже правильной, как указал @probably_someone.

Тот факт, что вес тела, по-видимому, действует на его центр масс, является прямым следствием того, что вес является параллельным силовым полем (очевидно, если предположить, что тело достаточно мало для поля$\textbf{g}$быть постоянным над ним).

Рассмотрим для простоты дискретную систему, образованную N частицами, каждая из которых имеет массу$m_i$. Суммарная внешняя сила, действующая на эту систему, равна

$$\begin{equation} \textbf{F}_{tot} = \sum_{all \,particles} \,m_i \textbf{g} = M \textbf{g} \end{equation}$$ куда $M$- полная масса системы.

Чтобы доказать, что тело не вращается вокруг своего центра масс только под действием своего веса, рассмотрим крутящий момент, создаваемый весом по отношению к центру масс:

$$\tau _{cm} = \left(\sum_{all\,particles} m_i \textbf{r}'_i\,\right)\times\,\textbf{g} = \left(\sum_{all\,particles} m_i (\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{cm})\,\right)\times\,\textbf{g} = (M\textbf{r}_{cm} - M\textbf{r}_{cm})\times\textbf{g} = \textbf{0}$$ где штрихованные координаты относятся к центру масс.

Таким образом, как видите, вес тела не действует на тело. Из этого результата мы можем сделать вывод, что, конечно, каждая частица, составляющая тело, подвержена весу, но общий эффект точно такой же, как если бы вес действовал только на частицу, имеющую массу всей системы и расположенную в центре масс.

Прежде всего, давайте посмотрим на разницу между центром масс и центром тяжести в общем случае.

Центр масс твердого тела - это гипотетическая точка, в которой «предполагается» сосредоточена вся масса тела. На самом деле неверно, что масса сосредоточена только в одной точке тела. Распределение массы сбалансировано вокруг центра масс, и среднее значение взвешенных координат положения распределенной массы определяет ее координаты. Если тело имеет одинаковую плотность на всем протяжении, то центр масс лежит в центре тяжести тела.

Теперь центр тяжести — это среднее расположение «веса» тела, тогда как центр масс — это среднее расположение «массы» тела. Следовательно, в общем случае центр масс и центр тяжести тела не равны. Однако в однородном гравитационном поле (точка на земле — очень хорошее приближение, где лежит ваше тело) эти две точки совпадают из-за того, что вес,$W=mg$, куда$m$это масса тела и$g$есть ускорение свободного падения. Это означает, что если мы установим константу$g$как единое целое, или выразить вес через$g$, то вес численно равен массе. Так вот, центр масс совпадает с центром тяжести.

Почему мы предполагаем, что вес действует через центр масс?

Как я указал в предыдущем абзаце, вес тела, как правило, действует через центр тяжести, а не через центр масс. Однако тело на поверхности земли испытывает однородное гравитационное поле, и поэтому центр тяжести совпадает с центром масс.

Центр масс — это гипотетическая точка, в которой предполагается, что вся масса тела сосредоточена. На самом деле это не та точка, где скапливается вся масса. Масса (количество материи) непрерывно распространяется по телу. Но когда дело доходит до изучения движения тела, что мы на самом деле делаем, изучая изменение координат положения, связанного с телом, во времени, COM действительно полезен. Но как связать координаты с телом? Если тело громоздкое, то вы не можете указать координаты, вместо этого вы указываете объем тела, которое оно занимает в пространстве. Но, возможно, вы знаете, что этот «объем» совершенно не имеет значения и не нужен твердому телу для объяснения его динамики.

Чтобы избежать такой трудности, мы используем центр масс. Вы можете построить траекторию тела в пространстве, проследив движение центра масс тела как функцию времени. Такой подход не нарушает никакой динамики рассматриваемого тела. Итак, мы могли бы привязать координаты (каркас тела) к центру масс тела.

Гравитация действует во всех точках тела. Концепция центра масс позволяет изучать тело или систему тел (что я считаю наиболее полезной целью концепции центра масс) более компактно, упрощая задачу (или удаляя ненужные детали). . Можно предположить (на Земле), что вес тела действует через центр масс. Важным аспектом этого рассмотрения является то, что центр масс твердого тела не изменяется при его движении. Кроме того, если вы рассматриваете сложные случаи, например, задачу двух тел , которую можно решить в задачу одного тела (это действительно большое облегчение), задействовав центр масс.

Если вы не уверены в простоте этого приближения, рассмотрите тело, движущееся через гравитационное поле под действием какой-либо внешней силы. попытайтесь разрешить компоненты Силы, чтобы получить результирующую силу. Без понятия центра масс вам нужно разрешить его для целых точек (или частиц), составляющих тело.

Сила, действующая на центр масс, не действует на удлиненное тело. Таким образом, гравитация, «действующая на центр масс», означает силу, которая ускоряет, но не вращает свою цель.

На Земле есть приливной крутящий момент у Луны, но это потому, что Земля не является твердым телом и меняет форму (и распределение веса) с приливами. Это означает, что Земля эффективно поляризована гравитационным полем, и эта поляризация (приливные лепестки) замедляет Землю, добавляя к орбитальному угловому моменту Луны. Это происходит не напрямую из-за гравитации, а из-за зависимости изменения формы Земли от времени (это не обратимый во времени эффект, хотя консервативное силовое поле, такое как гравитация, есть).

Очевидно, что в крутильных весах Кавендиша аппарата Кавендиша также присутствует крутящий момент, где два объекта предназначены для действия на торсионную пружину под действием силы тяжести. Итак, утверждение о воздействии на центр масс иногда оказывается ложным.

Можно, конечно, возразить, что точечная масса не оказывает крутящего момента на твердый объект, поскольку сила тяжести не может осмысленно воздействовать на точечный объект. Однако трудно обобщить этот аргумент.

По определению центр масс – это точка, ускорение которой находится по формуле

$$\vec{a}_{cm} = \frac{1}{m} \vec{F}_{net}$$

На самом деле гравитация действует на все тела, и при прямолинейном движении центра масс место, где действует сила, не имеет значения. Место приложения силы имеет значение только для вращательного движения.

Возьмите свободно плавающий в пространстве стержень и приложите нагрузку к одному его концу. Тело будет переводиться и вращаться. Если вы разработаете уравнения, то увидите, что перемещение центра масс не зависит от места действия силы.