Вычислить общий угловой момент объекта, вращающегося вокруг двух осей (например, Земли)

Удивительно, но правило сложения двух угловых скоростей не зависит от того, проходят ли «оси этих угловых скоростей» через объект или нет, пересекаются они или нет.

Угловая скорость тела не зависит от выбора вами инерциальной системы отсчета. Предположим, у нас есть стрела, прикрепленная к телу; в данный момент$t_0$эта стрелка указывала на далекую звезду$A$; в данный момент$t_1$эта стрелка указывала на другую далекую звезду$B$- ну, если верно, то верно во всех инерциальных системах отсчета. А как быстро меняется ориентация тела - это не зависит от системы отсчета (пока система отсчета инерциальна).

Теперь давайте измерим полную угловую скорость Земли. Сначала можно измерить ее в системе отсчета, прикрепленной к Солнцу и вращающейся таким образом, что скорость Земли равна нулю. Допустим, угловая скорость Земли в этой системе отсчета равна$\vec\omega$. Угловая скорость системы отсчета равна$\vec\Omega$, поэтому полная угловая скорость Земли равна$\vec\omega + \vec\Omega$. Это вектор, направленный к Полярной звезде, его величина примерно$1/86164sec$- где 86164 - количество секунд в звездных сутках, то есть период обращения Земли относительно далеких звезд.

Теперь ко второй части вашего вопроса: «В каждом учебнике / веб-странице, которые я видел до сих пор, я видел, что угловой момент из-за вращения вокруг Солнца рассчитывается отдельно от углового момента из-за вращения Земли вокруг своей оси. "

На этот раз система отсчета привязана к Солнцу и является инерциальной. «Справедливый» способ расчета полного углового момента Земли в этой системе отсчета состоит в том, чтобы разбить Землю на множество мелких частей, вычислить импульс каждой части и суммировать результаты. Более простым способом было бы вычислить импульс вокруг центра масс Земли, чем вычислить импульс Земли, как если бы вся ее масса находилась в ее центре масс, и сложить эти два вектора. Общий результат будет таким же - это простая математическая теорема.

Обратите внимание, что импульс из-за вращения Земли вокруг своей оси намного меньше, чем импульс из-за вращения Земли вокруг Солнца. Что еще более важно, не только общий импульс Эрата (то есть сумма этих двух векторов) постоянен во времени, каждая из этих составляющих постоянна сама по себе! (влияние Луны и других планет игнорируем). Итак, если вы хотите рассчитать детали того, как скорость Земли зависит от расстояния до Солнца (законы Кеплера) - вы можете смело игнорировать часть «вращения вокруг собственной оси» углового момента Земли.

Во-первых, учтите, что вращение Земли находится под углом к ​​оси орбиты.

Здесь

$$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$

Комбинированное вращение (с учетом названия относительно отрицательной оси x сверху) равно

$$\vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]}$$

который можно перевести на

$$\vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$

Что интересно, так это то, что вы можете вычислить мгновенный центр вращения земли относительно земли$(c_y,c_z)$($c_z$показан отрицательный ниже). Это точка, вокруг которой на самом деле вращается Земля.

Чтобы найти точку, рассчитайте орбитальную скорость (положительная ось x не указана на странице)

$$\vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$

а потом центр вращения

$$\pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]}$$

что интересно, если учесть в лунных единицах расстояния (1 LD = 384402000 м )

$$\pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]}$$

что всегда составляет почти один LD по направлению к солнцу, половину LD под землей во время летнего солнцестояния и половину LD над землей во время зимнего солнцестояния.

Теперь, когда установлена ​​кинематика Земли, можно говорить о динамике.

Земля вращается с$\vec{w}$и поэтому его угловой момент в центре Земли равен

$$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ где${\rm I}_E$есть массовый момент инерции Земли.

Но поскольку Земля тоже перемещается, она имеет линейный импульс.

$$\vec{p} = m_E \vec{v}$$ .

Чтобы вычислить угловой момент Земли относительно Солнца, мы объединим обе величины со следующим правилом

$$\vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p}$$

Если вы сделаете расчет, вы обнаружите, что большая часть углового момента вдоль оси z с небольшой составляющей вдоль оси y .

Что интересно, можно найти место в космосе, через которое проходит ось удара земли. Подобно предыдущему, эта точка

$$\pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2}$$

Значение этой точки в пространстве состоит в том, что если бы вы приложили равный и противоположный импульс$\vec{p}$к Земле через центр удара, Земля не только перестала бы вращаться, но и перестала бы вращаться . Через эту точку можно убрать всю кинетическую энергию земли одним импульсом. Это остановит землю на ее пути.