Почему нельзя найти электроны внутри ядра, если существует бесконечное число орбиталей?

Предположим, что рассматриваемый нами электрон находится на орбитали, описываемой волновой функцией$\psi$. Если мы посмотрим в какой-то небольшой объемный элемент$dV$то вероятность найти электрон в этом элементе объема равна:

$$P = \psi^*\psi \, dV$$

Для расчета вероятности нахождения электрона внутри ядра мы будем использовать полярные координаты, а в качестве элемента объема$dV$возьмем объем сферической оболочки радиуса$r$и ширина$dr$. Объем этого элемента:

$$dV = 4\pi r^2 dr$$

поэтому вероятность:

$$P = \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

Если радиус ядра$R$, то мы получаем вероятность нахождения электрона в ядре простым интегрированием из$r = 0$к$r = R$:

$$P = \int_0^R \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

И вообще этот интеграл имеет ненулевую величину, т.е. вероятность нахождения электрона внутри ядра отлична от нуля.

Мы знаем, что электрон имеет ненулевую вероятность оказаться внутри ядра, потому что в некоторых случаях он может реагировать с протоном в процессе, называемом захватом электрона или обратным бета-распадом.