Действительно ли существует нулевая вероятность найти электрон в орбитальном узле?

Вероятность нахождения электрона в некотором объеме$V$дан кем-то:

$$P = \int_V \psi^*\psi\,dV \tag{1}$$

То есть мы строим функцию, называемую плотностью вероятности :

$$F(\mathbf x, t) = \psi^*\psi$$

и интегрируем его по нашему объему$V$, где, как следует из обозначений, плотность вероятности обычно зависит от положения, а иногда и от времени.

Есть два варианта вероятности$P$может оказаться нулевым:

1. $F(\mathbf x, t)$равен нулю везде в объеме$V$- обратите внимание, что мы не можем получить положительную-отрицательную отмену, поскольку$F$это квадрат и везде$\ge 0$.

2. мы берем объем$V$к нулю, т.е. как для вероятности нахождения частицы в точке

Теперь вернемся к вашему вопросу.

Узел представляет собой точку или поверхность (в зависимости от типа узла), поэтому объем области, в которой$\psi = 0$равен нулю. Это означает, что в нашем уравнении (1) нам нужно положить$V=0$и мы получаем$P=0$поэтому вероятность найти электрон в узле равна нулю. Но (и я подозреваю, что в этом и заключается смысл вашего вопроса) это тривиальный результат, потому что если$V=0$мы всегда заканчиваем$P=0$и наш результат не имеет особого физического значения.

Предположим вместо этого мы возьмем какой-то небольшой, но ненулевой объем$V$сосредоточено вокруг узла. Где-то в нашем объеме функция плотности вероятности неизбежно будет отличной от нуля, потому что она равна нулю только в точке или узловой плоскости, а это означает, что при интегрировании мы всегда будем получать ненулевой результат. Таким образом, вероятность найти электрон рядом с узлом всегда больше нуля, даже если мы под близостью подразумеваем очень-очень маленькое расстояние.

Таким образом, утверждение о том, что вероятность нахождения электрона в узле равна нулю , либо бессодержательно, либо ложно, в зависимости от того, интерпретируете ли вы его точно в узле или приблизительно в узле .

Но я подозреваю, что большинство физиков сочтут это несколько глупым обсуждением, потому что обычно мы подразумеваем, что вероятность найти электрон в узле или узловой поверхности пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью найти его в другом месте атома.

Вы совершенно правы: вероятность найти электрон в любой точке (или на любой поверхности) равна нулю. Тем не менее, утверждение имеет смысл: на самом деле оно означает примерно следующее.

Рассмотрим коробку$V$с шириной/глубиной/высотой$(w,d,h)$. Если все они достаточно малы, чтобы волновая функция существенно не менялась по всему ящику, вы можете аппроксимировать

$$P = \int_V\!\mathrm{d}V\, |\psi(\mathbf r)|^2 \approx |V| \cdot |\psi(\mathbf r_c)|^2 = w\cdot d\cdot h \cdot |\psi(\mathbf r_c)^2|$$ куда $\psi(\mathbf r_c)$- волновая функция, оцененная, скажем, в центре ящика. Теперь, если эта точка лежит в узловой плоскости, то приведенное выше приближение дает ноль.

Строго говоря, это, конечно, просто неправильно: в основном аппроксимация нарушается, поскольку в разложении Тейлора нет нулевого члена, поэтому доминирующий член становится линейным даже на сколь угодно малом диапазоне. Однако в этом более подходящем приближении вы все равно получите «практически ноль» в результате: скажем, узловая плоскость находится в направлении xy и$h$меры в направлении z. Тогда интеграл становится

$$\begin{aligned} P \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,|\psi(\mathbf r_c + z\cdot \mathbf{e}_\mathrm{z})|^2 \\ \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,\left|z\cdot\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,(z^2) \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \frac23 \left(\frac{h}2\right)^3 \propto h^3 \end{aligned}$$ так как вы делаете $h$маленькая, вероятность уменьшается не только пропорционально объему, но и в третьей степени, что делает ее действительно очень малой.