Почему общую теорию относительности нельзя записать в терминах физических переменных?

Вигнер всегда жаловался на людей, которые употребляли слово «инвариант» (это было, конечно, в контексте специальной теории относительности): он говорил, что следует говорить, что принцип относительности требует «ковариантности», а не инвариантности. Собственные работы Эйнштейна по ОТО, как правило, выполняют просьбу Вигнера: теория ОТО (более общая, чем теория гравитации Эйнштейна или его уравнения поля) всегда выражается как требование ковариации по отношению к произвольным изменениям координат. Другой миф, на мой взгляд, состоит в том, что относительность требует, чтобы законы были преобразованы группой в другие законы «той же формы». Это просто словоблудие, пока вы не определите, что вы подразумеваете под «формой», и, что еще хуже, тогда это будет просто лингвистика, а не физика. Изучая практику Эйнштейна в этом вопросе, и его случайные явные заявления, ОТО действительно говорит: законы физики должны принимать форму приравнивания тензора к нулю. Это работает, потому что тензор имеет те же свойства ковариации при изменении координат, что и ноль.

Следовательно, требование ковариантности не имеет ничего общего с$f^* g$за$f$диффеоморфизм и$g$тензорное поле. Это можно увидеть и по-другому: для Эйнштейна$M$не физическое, это$g$это физическое. Следовательно$f$следует рассматривать как изменение координат, которое фактически не перемещает математические точки$M$. Формула, которую используют математики для$f^*g$должно быть переосмыслено как происходящее от$f$как функция перехода между двумя картами$M$вокруг заданной точки$x$, т. е. как диффеомеорфизм, это тождество. Позвольте мне выразить это по-другому: изменение координат не перемещает точки, оно просто меняет графики. Таким образом, замена координат является тривиальной тождественной картой, когда вы смотрите на нее в математических инвариантных определениях координат без координат.$M$,$f$,$f^*$и тензоры.

А теперь позвольте мне выразить это третьим способом, связав это с точкой зрения Вигнера в специальной теории относительности: ОТО требует, чтобы$g_{\mu\nu}$быть ковариантным, и в вашей установке это является необходимым условием для$f^* g$даже быть четко определенным . Это то, что необходимо для определения группового действия diff($M$) на множестве метрических тензоров и является строгой аналогией вигнеровскому требованию работать с представлением группы Лоренца. Ковариация означает, что групповое действие определено, а не тривиально.

Это одна из причин, почему diff($M$) не является хорошей аналогией калибровочных преобразований ЭМ или теории Вейля. Но есть и другое: в ЭМ отношение между потенциалом и полем — это одно, а отношение между$g_{\mu\nu}$а символы Кристоффеля (аффинная связь) — совсем другое. Да, математически эти два соотношения имеют нечто похожее, но с точки зрения задействованных симметрий есть принципиальное различие: метрическое поле ковариантно (тензор), а символы Кристоффеля — нет, тогда как в ЭМ поля хорошо преобразуются под действием Лоренца. группа тоже. Следовательно, согласно философии ОТО, метрическое тензорное поле следует рассматривать как более физическое, чем символы Кристоффеля, хотя все, и Эйнштейн тоже, называют метрику «гравитационным потенциалом», а символы Кристоффеля — «гравитационным полем». Эту предложенную аналогию просто не следует воспринимать слишком серьезно, и на самом деле сам Эйнштейн постоянно колеблется между этой терминологией и, казалось бы, противоречивым названием метрического тензорного поля «гравитационным полем,

И еще одно: в ЭМ мы, конечно, можем измерять только разность потенциалов, поэтому мы вводим выбор калибровочных и калибровочных преобразований. Но ( темпкрайние позитивисты), мы в принципе можем измерить метрический тензор, используя световые лучи, часы и движущиеся стержни, как это объясняли Вейль и Эйнштейн. (Конечно, только потому, что это идеальный классический мир, поэтому мы можем сделать массы незначительными...). Уравнения Эйнштейна не имеют значения! Точно так же, как при обсуждении того, что такое выбор калибровки и что такое калибровочное преобразование в ЭМ, уравнения Максвелла не имели значения! То есть определение или концепция калибровки и калибровочного преобразования имеют смысл, и можно думать об их физической природе и желательности, даже не рассматривая уравнения Максвелла. И следуя по этому пути, можно было бы сначала решить, исходя из физических соображений, что такое калибровочные преобразования, а затем искать Закон Природы, калибровочно-инвариантный в этом смысле.

Но символы Кристоффеля, хотя они, очевидно, могут быть в некотором смысле измерены, поскольку их можно вычислить из метрики, не являются физическими, поскольку они не ковариантны. Слишком много споров о том, что означает «физический», были бы философскими, но все, на чем я действительно хочу настаивать, это то, что для ОТО, если что-то даже не ковариантно, то оно не является объективным и «реальным», так что это разрушает аналогию с калибровками. в ЭМ все само собой.

Теперь избавился от diff($M$), я кратко излагаю то, что уже всем известно: для любого риманова или лоренцева многообразия существует калибровка, которая делает метрическое поле тензором, это объясняется Вейлем в его книге, только он называет это калибровкой. Итак, это отвечает на ваш вопрос о классической GR.

РЕДАКТИРОВАТЬ для комментария OP.

Принцип общей теории относительности заключается в том, что нет естественного способа отличить один набор координат от другого. В этом весь смысл ОТО, его философии, если хотите. Не существует физического критерия, по которому можно было бы сказать, что одна система координат лучше другой.

Возможно, вы уже это знали, так что давайте рассмотрим выбор, который не имеет физической мотивации или значения, но выглядит красиво. Например, геодезические координаты. Для любого$M$и любая заданная точка$p$вы можете определить локальные координаты в небольшой окрестности$x$в$M$которые являются геодезическими в том смысле, что они хорошо описывают параллельный перенос вдоль координатных осей. Но они не имеют глобального значения, они ничего не делают для всей картошки, только для одной точки.$x$, потому что как только вы параллельно транспортируете что-то на конечное расстояние от$x$, то, что вы получите, зависит от пути, по которому вы туда попали. Они имеют «локальное», а не «глобальное» значение, и причиной различия между локальным и глобальным является геометрический факт неинтегрируемости, который присущ криволинейной геометрии$M$. Только если$M$плоская ситуация является «интегрируемой». По сути, это определение кривизны . Кривизна определяется как отклонение от интегрируемости этого параллельного переноса в геодезической системе координат.

Итак, ответ на ваш вопрос: нет системы координат в целом с хорошими свойствами, если только$M$плоский.

Понимаете, запутался вопрос между выбором калибра и выбором системы координат, это не одно и то же. Если устранить эту путаницу, она получит два разных ответа: если$M$является псевдоримановым, да, существует выбор калибровки, что означает, что метрика может быть представлена ​​​​тензором, а не скрученным тензором. Но нет, не существует никакого рецепта для координат, обладающих хорошими свойствами в целом, если только$M$плоский.

Давайте переформулируем вопрос ОП (v1) следующим образом.

Может ли общая теория относительности в$d$объемные измерения пространства-времени должны быть записаны только в терминах физических/распространяющихся переменных?

Лучшее, что можно сделать, это следующее. Для слабых гравитационных полей можно написать кривую метрику

как сумма плоского фона Минковского$\eta_{\mu\nu}$и флуктуационная часть$h_{\mu\nu}$, который симметричен и, следовательно, содержит$\frac{d(d+1)}{2}$независимые компоненты.

Теперь используйте координаты светового конуса для плоской метрики.$\eta_{\mu\nu}$. Флуктуационная часть$h_{\mu\nu}$затем разделяется на$2d$нефизические вспомогательные переменные (которые можно исключить) и$\frac{d(d-3)}{2}$физические переменные (=бесследовая поперечная часть).

Ссылка:

Бартон Цвибах, Первый курс теории струн, раздел 10.6.

Если понятие физического является калибровочно-инвариантным, то скаляр Риччи в действии Эйнштейна-Гильберта является «физической» переменной в том же смысле, что и$F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$~$(|E|^2-|B|^2)$а также$F_{\mu \nu} \tilde{F}^{\mu \nu}$~$(E \cdot B)$являются фундаментальными калибровочно-инвариантными величинами в чистых теориях Янга-Миллса. Но уравнения поля Эйнштейна не строятся из инварианта так же, как уравнения поля Янга-Миллса не строятся из его инвариантов. Тем не менее, эти уравнения поля остаются неизменными при калибровочных преобразованиях полей, потому что дополнительный вклад представляет собой член полной производной в лагранжиане (если многообразие не имеет границы, и в этом случае член Гиббонса-Хокинга должен быть добавлен к лагранжиану, чтобы поглотить дополнительный вклад)

Обратите внимание, что$E$а также$B$сами поля не являются калибровочно-инвариантными, как, кажется, предполагает ваш вопрос.

Я не уверен, является ли кривизна Риччи единственным фундаментальным инвариантом римановых многообразий. Является ли инвариант Ямабе фундаментальным? Было бы неплохо, если бы кто-нибудь мог опубликовать список (фундаментальных и производных) инвариантов.