Строгое определение вариации

Определение может быть дано путем прямого обобщения определения по вопросу. Возьмите пространство полей, чтобы быть пространством$C^\infty(X, M)$гладких функций между двумя многообразиями. Для любого гладкого функционала$S:C^\infty(X, M)\to\mathbb{R}$и любое однопараметрическое семейство полей$h:\mathbb{R}\times X\to M$мы можем определить функцию$f_{S,h}\in C^\infty(\mathbb{R})$к$f_{S,h}(t) = S(h_t)$. Вариация$\delta S$это дифференциал$df_{S,h}$этой карты.

В случае с механикой мы просто специализируем это определение для$X=[a,b]$. В общей теории относительности$X$это пространство-время.$R_{\mu\nu}$следует рассматривать в этом контексте как функцию над многообразием, которая ставит в соответствие любой точке$x\in X$функциональный$R_{\mu\nu}(x)$метрики.

Кокос пользователя был быстрее (и короче), поэтому ответ может быть направлен на то, чтобы немного расширить технические аспекты вариационного исчисления для (локальной) классической теории поля.

Книгой по физике, в которой очень хорошо определяется вариация функционала действия для теории поля, является « Общая теория относительности » Роберта М. Уолда (University of Chicago Press, 1984) — см. Приложение E, стр. 450 и далее. Однако, поскольку он по-прежнему оставляет в стороне несколько технических деталей, я опишу процедуру ниже.

Идея по сути та же, что вы написали для классической механики. Понятны конфигурации поля (среди них пространственно-временная метрика$g$) в виде гладких участков

$$\phi\in\Gamma^\infty(\pi):=\{\phi\in\mathscr{C}^\infty(M,E)\ |\ \pi\circ\phi=\mathrm{id}_M\}$$ некоторого пучка волокон $\pi:E\rightarrow M$над пространственно-временным многообразием $M$. (Конечные) вариации поля — это просто гладкие карты. $\Phi:M\times I\rightarrow E$, где $I\subset\mathbb{R}$открытый интервал, такой, что $$\phi_s:=\Phi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty(\pi)$$ для всех $s\in I$. Последнее означает, что $\phi_s(p)=\Phi(p,s)\in\pi^{-1}(p)$для всех $p\in M$, $s\in I$- особенно, если (скажем) $0\in I$и $\phi_0=\phi$, то бесконечно малая вариация поля вокруг $\phi$будет даваться в каждом $p\in M$к $\delta\phi(p)=\left.\dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\right|_{s=0}$. Следует, что $\delta\phi$можно рассматривать как плавный участок отката $$\phi^*VE:=\{(p,X)\in M\times VE\ |\ \phi(p)=\pi_{TE}(X)\}$$ вертикального пучка $$\pi_{TE}:VE:=\{X\in TE\ |\ T\pi(X)=0_{TM}\}\rightarrow E$$ под $\phi$, который можно рассматривать как «касательный вектор» к $\Gamma^\infty(\pi)$в $\phi$. Наоборот, если вы поместите (полную) риманову метрику на слои $E$, вы можете использовать связанную с ними экспоненциальную карту, чтобы построить вариацию поля из бесконечно малой.

Примерно такая картина$\Gamma^\infty(\pi)$как бесконечномерное многообразие (есть несколько предостережений, которые кратко обсуждаются в техническом приложении в конце этого ответа, но они не имеют значения в дальнейшем).

Чтобы перейти от этого к вариантам действий, сначала нужно определить, что такое функционал действия. Напомним, что функционал на$\Gamma^\infty(\pi)$это просто карта$F:\Gamma^\infty(\pi)\rightarrow\mathbb{C}$. Получается, что действие — это не один функционал, а семейство функционалов$\{S_K\ |K\subset M\text{ compact}\}$такой, что$S_K(\phi_1)=S_K(\phi_2)$для всех$\phi_1,\phi_2\in\Gamma^\infty(\pi)$такой, что$\phi_1=\phi_2$на$K$. Дело здесь в том, чтобы учесть (наиболее часто встречающуюся) возможность того, что лагранжева плотность оценивается на$\phi$не интегрируема в целом$M$. Если дополнительно потребовать, чтобы каждый$S_K$является локальным и зависит от производных$\phi$на заказ (скажем)$r$(в точном смысле, который я не буду здесь определять), следует, что

$$S_K(\phi)=\int_K L(p,\phi(p),\nabla\phi(p),\ldots,\nabla^r\phi(p))\mathrm{d}^n x\ ,$$ где лагранжева плотность $L$является гладким по своим аргументам (мы также требуем, чтобы $L$не зависит от $K$, конечно - это можно закодировать в условиях совместимости между $S_K$, подробности которого для нас здесь не имеют значения).

Я намеренно неточно даю определение производным (первого и высшего порядка).$\nabla^k\phi$гладких участков$\phi$из$\pi$(которые кодируют, в случае$\phi=g$, кривизна$g$и т. д.), так как для этого требуется понятие струйных расслоений$\pi$, что немного длинно и отклонит нас от нашей основной цели (я могу добавить несколько деталей позже, если вы сочтете это необходимым). Как только все это установлено, (конечная) вариация$S_K$соответствующий$\Phi$просто$S_K(\phi_s)$, и соответствующая бесконечно малая вариация есть просто

$$\delta S_K(\phi)=\left.\dfrac{d}{ds}\right|_{s=0}S_K(\phi_s)\ .$$ На данный момент это становится просто стандартным дифференцированием под знаком интеграла, что вполне допустимо при вышеуказанных требованиях.

Ключевой шаг в вычислении$\delta S_K(\phi)$состоит в том, чтобы показать, что производные слоя и основания коммутируют , т.е.

$$\dfrac{\partial\nabla^k\Phi(p,s)}{\partial s}=\nabla^k \dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\ ,$$ так что $\nabla^k(\delta\phi)=\delta(\nabla^k\phi)$, для всех $k\leq r$. Таким образом, вы получаете обычные термины дивергенции, которые появляются в стандартных трактовках вариационного исчисления. Чтобы избавиться от них (например, при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа), можно предположить, что бесконечно малые вариации поля поддерживаются внутри $K$(подробнее об этом см. в техническом приложении ниже) при необходимости.

Важно отметить, что изложенный выше вариационный принцип по своей сути является локальным , так что приведенные выше соображения фактически не зависят от$K$.

( Техническое приложение: если вы хотите иметь какую-то гладкую структуру коллектора на$\Gamma^\infty(\pi)$, вам нужно указать, какое модельное векторное пространство вы используете. Оказывается, нужно использовать

$$\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M):=\{X_\phi\in\Gamma^\infty(\phi^*VE\rightarrow M)\ |\ X_\phi\text{ has compact support}\}$$ в качестве моделей, в противном случае результирующая топология $\Gamma^\infty(\pi)$(с использованием экспоненциальных карт, упомянутых во втором абзаце выше, для построения атласа) не гарантируется локальная связность по путям (может произойти сбой, если $M$не компактна), следовательно, не является многообразной топологией. Это означает, что следует ограничить вариации поля $\Phi$быть таким, что для каждого компактного (= замкнутого и ограниченного) подынтервала $J\subset I$есть компактное подмножество $K\subset M$такой, что $\Phi(p,s)$постоянно включен _ $(M\smallsetminus K)\times J$. Причина в том, что в вышеупомянутом атласе эти вариации поля становятся именно гладкими кривыми $\Gamma^\infty(\pi)$, и поэтому $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)=T_\phi\Gamma^\infty(\pi)$становится касательным пространством (без кавычек) к $\Gamma^\infty(\pi)$в $\phi$. Интересно, что именно такие вариации поля необходимы для вывода уравнений Эйлера-Лагранжа, что придает дополнительный вес их важности, выходящей за рамки простого эстетического требования согласованности с многообразной структурой на $\Gamma^\infty(\pi)$. Другая техническая деталь заключается в том, что если вы используете стандартную (индуктивный предел) топологию локально выпуклого векторного пространства $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$индуцировать топологию $\Gamma^\infty(\pi)$через приведенный выше атлас вы получаете структуру топологического многообразия (которая, кстати, является так называемой топологией Уитни на $\Gamma^\infty(\pi)$) , но не гладкий . Для последнего вам нужно использовать окончательную топологию, индуцированную гладкими кривыми $$\Xi:\mathbb{R}\rightarrow\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ на $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, что лучше стандартного. Плавные изгибы $\Xi$на $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, в свою очередь, являются гладкими картами $\Xi:M\times I\rightarrow E$, где $I\subset\mathbb{R}$открытый интервал, такой, что $$X_s:=\Xi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ для всех $s\in I$такое, что для каждого компактного подынтервала $J\subset I$есть компактное подмножество $K\subset M$таким образом, чтобы поддержка $X_s$содержится в $K$для всех $s\in J$. (напомним, что поддержка раздела $X$векторного расслоения над $M$это наименьшее замкнутое подмножество $\mathrm{supp}\,X$из $M$такой, что $X$равен нулевому сечению снаружи $\mathrm{supp}\,X$(Многие) дополнительные сведения об изложенной здесь процедуре см. в книге Андреаса Кригла и Питера В. Михора «Удобная настройка глобального анализа» (AMS, 1997))