Почему отрицательный коэффициент отражения соответствует разности фаз ππ\pi?

В качестве примера я буду использовать уравнения Френеля:

$$t_{p,s}=\frac{2\cos\theta^i}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{T}$$

$$r_{p,s}=\frac{\cos\theta^{t,i}-\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{R}$$

Нижние индексы на LHS$(\mathrm{T})$&$(\mathrm{R})$;$p,s$связаны с надстрочными индексами$t,i$на правой стороне$(\mathrm{T})$&$(\mathrm{R})$. Где$p$обозначает компонент электрического поля, параллельный плоскости падения (которая является страницей/экраном),$s$— составляющая электрического поля, перпендикулярная плоскости падения. Надстрочные индексы$i$,$t$обозначают заболеваемость и передачу соответственно.

При нормальном падении$\theta^i=\theta^t=0$и так

$$r_p=r_s=r=\frac{E^r}{E^i}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\tag{N}$$

Если мы рассмотрим простой случай, когда свет падает нормально из воздуха ($n_1 \approx 1$) к стеклу ($n_2\approx 1.5$) затем:

$$\color{blue}{\fbox{$\frac{E^r}{E^i}=-0.2$}}$$

Теперь здесь начинается мой главный вопрос: согласно каждому источнику, с которым я сталкиваюсь, они обычно заявляют, что «причина знака минус в том, что существует разность фаз$\pi$между отраженной волной и падающей волной».

Уолтер Левин использовал тот же расчет, что и в$(\mathrm{N})$и дошел до ящика, который я пометил синим, и спросил свою аудиторию: «Что означает минус?» Который можно увидеть на$53$мин в его лекции «8.03 - Лекция 18 - Показатель преломления, отражение, уравнения Френеля, угол Брюстера». Один из его учеников ответил, что значение минуса$180^{\circ}$разность фаз. Затем Уолтер продолжает подкреплять, что минус означает$\pi$разность фаз и дал для этого интуитивное (эвристическое) обоснование (которое, к сожалению, не отвечает на мой вопрос здесь).

---

Вот небольшой отрывок из моих конспектов лекций:

Текст, который я выделил красным для этих двух пунктов, требует обоснования. Почему «положительный» подразумевает «синфазный», а «отрицательный» подразумевает «разность фаз$\pi$'?

---

Наконец, я хотел бы понять, почему происходит смена знака на кривой$r_p$; поскольку это единственное отношение отражения к падению, которое фактически пересекает$\theta_i$ось:

Глядя на график слева, я понимаю, что разность фаз

$$\theta^r-\theta^i=\begin{cases} \pi & \text{if}\quad \theta^i \lt \theta_B \\ 0 & \text{if}\quad \theta^i \gt \theta_B \end{cases}$$

без доказательства. Я очень устала от того, что мне говорят это без объяснений. На странице 391 3-го издания «Введение в электродинамику» Дэвида Дж. Гриффитса находится тот же график, что и слева на изображении выше, и его рассуждение состоит в том, что

На графике отрицательное число указывает на то, что волна$180^{\circ}$не в фазе с падающим лучом.

Что опять-таки бесполезно для меня и не объясняет с какой-либо строгостью математических рассуждений; именно такое объяснение я и ищу.

---

Если бы мне пришлось угадывать, я бы сказал, что знак минус, соответствующий разности фаз$\pi$должен был бы исходить из скалярного произведения в пределах аргумента электрического поля:

$$\vec E_i=\vec E_{0_i}e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}\tag{1}$$ $$\vec E_r=\vec E_{0_r}e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}\tag{2}$$ $$\vec E_t=\vec E_{0_t}e^{i(\omega t - k_t\cdot \vec r)}\tag{3}$$

Уравнение деления$(2)$к$(1)$Я нахожу это по определению

$$r_p=\frac{E_r}{E_i}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}\frac{e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}}{e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}$$

Но я не знаю, как продолжить, чтобы показать, что если

$$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\tag{?}$$ тогда есть разность фаз $\pi$между $\vec E_i$и $\vec E_r$.

Может ли кто-нибудь помочь мне завершить доказательство или показать мне, есть ли другой способ доказать, что отрицательное отношение отражения к падению означает изменение фазы$\pi$?

---

Подобные вопросы я уже читал на этом сайте; нравится этот , этот и этот популярный вопрос , но они все еще не отвечают на мой вопрос здесь.

---

Обновлять:

С тех пор я получил ответ, в котором упоминается частный случай тождества Эйлера; ответ гласит, что

любой знак минус можно интерпретировать как фазовый сдвиг$\pi$, который можно внести в поле аргумент.

Используя неравенство$(\mathrm{?})$а формула Эйлера означает, что

$$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\implies \vec r(k_i-k_r)=\pi\tag{4}$$

Так как же$(4)$показать, что любое отрицательное число имеет разность фаз$\pi$от отношения отражения к падению?