Почему сила тока в электрической цепи постоянна?

Предположим, что у нас есть в статическом электричестве два заряда, отрицательный и положительный, равные по абсолютной величине, и мы помещаем электроны на дорогу между ними, мы знаем, что электрическая сила или поле различаются от точки к точке между ними из-за расстояния согласно закону Колумба и поскольку сила отличается, тогда каждый электрон имеет разную скорость

Если бы на этой дороге (буду называть ее проводом) не было бы зарядов, то вы были бы правы. Но вы уже сказали, что там есть электроны. Каждый из них также вносит свой вклад в присутствующее электрическое поле, поэтому нельзя сказать, что оно просто основано на расстоянии от внешних зарядов (или батареи).

В стационарном состоянии электроны будут двигаться таким образом, что поле внутри проволоки равно нулю. Это не зависит от расстояния до батареи. Вы не можете использовать закон Кулона, если не знаете, где расположены заряды, но это становится затруднительным, когда все они перемещаются.

Большинство проводов состоит из положительно заряженных частей (например, протонов) и отрицательно заряженных частей (например, электронов). каждый генерирует свое собственное электрическое поле, и поле становится очень большим, когда вы приближаетесь к любому отдельному электрону, достаточно, чтобы быть больше, чем поля, создаваемые всеми 10 ^ 23 или более электронами. Так что истинное электрическое поле будет прыгать. Но мы обычно говорим не об этом микроскопическом электрическом поле, а о среднем. Вы выбираете область, достаточно большую, чтобы в ней было много электронов, но достаточно маленькую, чтобы, если немного сдвинуть область, среднее значение (интеграл, деленный на объем) не сильно изменится. Это похоже на плотность населения в городе, вы не хотите, чтобы она резко увеличивалась на кровати каждого человека или даже в их спальне, вы хотите, чтобы она плавно менялась от одной части города, чтобы легко увидеть, где она относительно плотная.

Итак, мы говорим о полях и плотностях заряда. Итак, давайте посмотрим на этот элемент схемы. Если он омический, то это резистор, и обычно нам нужны резисторы, которые удерживают ток внутри него или, по крайней мере, близко к нему. Если существует работа выхода, которая требует некоторой большой энергии, чтобы выбить электрон из металла, и тепловая среда достаточно холодная, так что энергия, если она намного больше, чем может быть обеспечена тепловым толчком, тогда заряды будут течь внутрь, дальше или рядом со стихией, но не убежать прочь. Таким образом, мы не видим ускорения заряда в направлении нормали к проводу, поэтому$\vec{E} \cdot \vec{n}=0$где$\vec{n}$нормально к границе элемента схемы, или с точки зрения потенциала$\partial V / \partial n = 0$. Как насчет частей элемента схемы, не находящихся на границе, частей, подключенных к батарее? Один из них находится при одном постоянном потенциале, другой при, возможно, другом постоянном потенциале. Для простоты и конкретности примем один конец за$(0,r\sin(\theta),r\cos(\theta))$при нулевом потенциале и$(L,r\sin(\theta),r\cos(\theta))$быть в потенциале$V_0$, поэтому у нас есть короткий прямой круговой провод длиной$L$и радиус$r$, хотя длина и радиус не важны. Последнее физическое понимание, которое нам нужно, состоит в том, что макроскопическая плотность заряда равна нулю. Если бы оно было ненулевым и макроскопическое электрическое поле было бы ненулевым, то имело бы место макроскопическое ускорение, а не стационарное состояние. Неустановившиеся состояния могут быть важными и полезными, но они часто преходящи, когда система приближается к макроскопически устойчивому состоянию, поэтому ищите макроскопически устойчивое состояние, и если мы его найдем, то это может быть точным описанием этой установки. Итак, теперь мы будем искать макроскопически стационарное состояние, то есть такое, в котором макроскопическое электрическое поле не имеет дивергенции, и у нас есть граничные условия, заданные на всей границе.

Теперь мы можем найти одно решение с для электрического потенциала$V_1$внутри резистора, а именно$V(x,y,z)=xV_0/L$. Предположим, что было другое решение$V_2$который также имеет$V=0$на одном конце,$V=V_0$в другом и$\partial V /\partial n = 0$на краях резистора, а затем рассмотрим два электрических поля$\vec{E}_1=-\nabla V_1$и$\vec{E}_2=-\nabla V_1$, то рассмотрим различия$\vec{E}_3=\vec{E}_1-\vec{E}_2$и$V_3=V_1-V_2$, и имейте в виду, что это поля, а не просто числа. Отметим, что расхождение$E_3$равно нулю, потому что дивергенция$E_1$и$E_2$каждый равен нулю, потому что нет чистой макроскопической плотности заряда. Итак, личность$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)=V_3(\nabla \cdot \vec{E}_3)+\vec{E_3}\cdot(\nabla V_3))$(что является общим тождеством векторного исчисления) сводится к$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)=\vec{E_3}\cdot(\nabla V_3))=\vec{E_3}\cdot(-\vec{E_3})=-(E_3)^2$и что правая часть никогда не бывает положительной (в лучшем случае она равна нулю). Эти две равные вещи$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)$и$-(E_3)^2$по-прежнему являются полями, поэтому мы интегрируем их по всему проводу, чтобы получить

$\int_W \nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3) dxdydz=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$, позволять$\partial W$быть поверхностью провода и применить теорему о расходимости, чтобы получить:

$\int_{\partial W} (V_3 \vec{E}_3)\cdot d\vec{a}=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$. Теперь, поскольку два решения имеют одинаковый потенциал на двух концах провода (так что$V_3$там ноль), нам нужно беспокоиться только о сторонах провода$S$так что мы получаем:

$\int_S (V_3 \vec{E}_3)\cdot d\vec{a}=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$.

Но$\vec{E}_3\cdot d\vec{a}=\vec{E}_3\cdot \vec{n} da=-\partial V_3 /\partial n da$а также$\partial V_3 /\partial n = 0$по бокам с тех пор$\partial V_1 /\partial n = 0$и$\partial V_2 /\partial n = 0$там. Таким образом, весь поверхностный интеграл равен нулю. Итак, мы получаем:

$0=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$. А вот если ради спора,$\vec{E}_1$не равнялся$\vec{E}_2$тогда должна была быть точка, где они были бы разными с разницей в величине$d$в таком случае. Тогда, поскольку они непрерывны, должен был бы быть целый маленький шарик вокруг той точки, которая остается внутри провода, где эта разница в величине была бы между$d/2$и$d$, поэтому интеграл от$-(E_3)^2$над этим маленьким шариком будет между$d/2$и$d$умноженное на отрицательное значение объема этого маленького шарика, но интеграл по всей остальной части этого провода может дать самое большее ноль и, возможно, даже быть отрицательным, поэтому сумма строго отрицательного числа и неположительного числа не может дать ты ноль, так что не должно быть так, что$\vec{E}_1$и$\vec{E}_2$отличаются, так как$\vec{E}_3$внутри провода равен нулю. И мы знаем, что$\vec{E}_1$есть, это$(V/L,0,0)$. Итак, электрическое поле. Он однороден. Это единственное макроскопическое поле, которое является макроскопически устойчивым.

Должно ли макроскопическое поле быть макроскопически устойчивым? Ну, у вас есть батарея, и цель батареи состоит в том, чтобы обеспечить постоянное напряжение, а напряжение является концепцией, зависящей от манометра, в полностью зависящей от времени электродинамике, поэтому, если вы говорите, что у вас есть батарея, и все, что вы хотите сказать о это то, что он поддерживает постоянное напряжение, и вы не хотите говорить о том, как он пытается или как он динамически взаимодействует с нестационарным макроскопическим полем, тогда я думаю, что это все, что мы можем сказать.