Почему упрощенные для гидродинамики уравнения Навье-Стокса не содержат ускорения свободного падения?

Если вы пройдете процесс обезразмеривания уравнений, математика станет более понятной. Если вы начнете с уравнения импульса (игнорируя силы вязкости, потому что они не важны для анализа):

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + \frac{\partial u_i u_j}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + g$$

Затем введите соответствующие масштабы, чтобы обезразмерить вещи:$\bar{u}_i = u_i/u_0$,$\bar{x}_i = x_i/L$,$\bar{\rho} = \rho/\rho_0$,$\bar{g} = g/g_0$,$\tau = u_0/L t$и$\bar{p} = p/p_0$, Вы получаете:

$$\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial \tau} + \frac{\partial \bar{u}_i \bar{u}_j}{\partial \bar{x_j}} = -\frac{\text{Eu}}{\bar{\rho}} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}_i} + \frac{1}{\text{Fr}^2}\bar{g}$$

$\text{Eu} = \frac{p_0}{\rho_0 u_0^2}$число Эйлера и$\text{Fr} = \frac{u_0}{\sqrt{g_0 L}}$это число Фруда .

Число Фруда — это отношение конвективных сил к силам гравитации. Когда конвективные силы намного, намного больше, чем силы гравитации, число Фруда велико и поэтому$\frac{1}{\text{Fr}^2} \ll 1$, а гравитационным членом можно пренебречь по отношению к конвективным. Вот как мы можем математически обосновать отказ от гравитационного члена, когда конвективные силы велики.

Уравнения NS включают гравитационный термин, см. статью в Википедии , где он включен в качестве термина силы тела .

При некоторых условиях им можно пренебречь: большое число Фруда (как показал tpg2114) или гидростатика (при которой сила тяжести уравновешивается градиентом давления) или горизонтальные течения ($g$в$z$-направление, но поток находится в$x,\,y$самолет). Он также может быть включен в другие члены: сила тяжести консервативна, его можно включить в член градиента давления для несжимаемых потоков,

$$-\nabla w+\mathbf g=-\nabla(w+\phi)=-\nabla w'.$$ куда $w=p/\rho$, но это действительно не будет «игнорироваться», как вы предложили.

Педагогическая причина может заключаться в том, что решение в конечном итоге окажется более сложным, чем разумно ожидалось в тесте или домашнем задании.