Почему число Рейнольдса «такое, какое оно есть»? Почему порядок именно такой?

Число Рейнольдса, с$\rho$плотность,$u$величина скорости,$\mu$вязкость и$L$некоторая характерная шкала длины (например, высота канала или диаметр трубы) задается выражением

$$\text{Re}=\frac{\rho~u~L}{\mu}.$$ Это безразмерная зависимость отношения сил инерции ( $\rho u u$) к вязким силам ( $\mu\frac{u}{L}$). Следовательно, это означает относительную важность сил инерции по отношению к силам вязкости.

В ламинарном режиме доминируют силы вязкости (т.е.$\text{Re}\ll 1$), а в турбулентном режиме преобладают силы инерции (т.е.$\text{Re}\gg 1$). При переходе от ламинарного к турбулентному потоку силы инерции начинают доминировать над силами вязкости, что просто означает, что вязкость больше не может сглаживать градиенты скорости в плавный ламинарный поток (за исключением вблизи границы, где они все еще важны), а инерция потока вызывает он «спотыкается» о себя, вызывая вихри и вообще хаотичное поведение, связанное с турбулентностью.

Число Рейнольдса определяется размерным анализом уравнений гидродинамики, управляющих потоком (например, уравнений Навье-Стокса). Предположим, что постоянный поток (т.е.$\partial_t\mathbf{u}=0$)

$$\rho~\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{u}=-\mathbf{\nabla}p + \mu~\mathbf{\nabla}^2\mathbf{u}.$$

Обезразмерив это, определив$\bar{x}=\frac{x}{L}$,$\bar{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{U}$и$\bar{p}=\frac{p}{P}$где$U$и$P$– характерные масштабы скорости и давления соответственно, получаем:

$$\rho~\frac{U^2}{L}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\frac{P}{L}~\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \mu \frac{U}{L^2}~\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

мы можем упростить это, разделив на$\mu\frac{U}{L^2}$и определение$P=\mu\frac{U}{L}$получить:

$$\text{Re}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

который показывает число Рейнольдса. Для$\text{Re}\ll 1$, где преобладает вязкость, мы видим, что конвективный член слева становится пренебрежимо мал по сравнению с градиентом давления и тензором вязких напряжений справа.

Для$\text{Re}\gg 1$мы можем сделать то же самое, за исключением того, что нам нужно разделить на$\rho\frac{U^2}{L}$и определить$P=\rho U^2$получить:

$$\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \frac{1}{\text{Re}}\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

Теперь тензор вязких напряжений справа становится пренебрежимо малым по сравнению с градиентом давления и конвекционным членом слева.

Обратите внимание, что шкала характеристического давления$P$определялась в вязкостной и инерционной шкале в зависимости от того, в каком режиме мы находились. Это необходимо, так как требуется, чтобы безразмерный градиент давления был того же порядка, что и хотя бы еще один член.

Обратите также внимание на то, что реальная турбулентность по своей природе нестационарна. Моя трактовка выше стационарных уравнений Навье-Стокса для различных режимов заключалась в том, чтобы сосредоточиться на роли числа Рейнольдса и просто сделать его как можно более коротким.

Вопрос, который вы задаете, на самом деле является центральным вопросом огромной дисциплины гидродинамики. Некоторые даже называют это «последней великой нерешенной проблемой классической физики». Если вы получите полный ответ, пожалуйста, дайте мне знать! (И никому больше не говори. Просто держись между нами, а?)

Как правило, в любом потоке всегда есть небольшие колебания, даже если он очень ламинарный. (По крайней мере, существуют тепловые флуктуации.) В ламинарных режимах течения, что обычно означает низкое Re, эти флуктуации быстро затухают. При более высоком Re вязкость становится относительно менее важной, и эти колебания могут стать нестабильными. Например, сдвинутый поток у стенки трубы может свернуться в вихревые трубки, и если они не затухнут, то могут растянуться в подковообразную, а затем в шпильку, и вот у вас получится небольшая структура с высоким локальным сдвигом. который немного отодвинулся от стены. Процесс может повторяться в окрестностях этих структур, и если он быстро растет и размножается, получается турбулентный поток. Это только один пример,

Не существует (пока) единой теории неустойчивости, а значит, и универсального ответа на вопрос, когда и почему возникает турбулентность. Это проблема, над которой размышляли многие великие умы, в том числе Гейзенберг и Фейнман, но она все еще остается открытой. Даже в конкретной ситуации, такой как поток в трубе, детали все еще плохо изучены. Но вы можете понять, почему, в целом, более высокое Re имеет тенденцию повышать вероятность турбулентности — это потому, что при более высоком Re меньше демпфирование и, следовательно, больше склонность к нестабильности. Вы также можете видеть, почему переход к турбулентности чувствительно зависит от деталей течения; например, если стенки трубы хотя бы немного шероховатые, нестабильность и турбулентность могут возникнуть легче, чем если бы они были очень гладкими.