Каноническая форма структурных констант и взаимно ортогональная триада на орбитах космологий Бьянки

Прежде всего, нам нужно найти, как матрица$n^{ij}$преобразуется при рассмотренных линейных преобразованиях. С этой целью заметим, что мы можем построить разложение (2) в ОП, рассматривая (следуя соглашению, которое использовали авторы)

$$C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{jk\ell}, \tag{4}$$ который подчиняется $\epsilon_{jmn}C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{k\ell}_{mn} = C^i{}_{[mn]} = C^i{}_{mn}$. Затем мы разделились $C^{ij} = C^{(ij)} + C^{[ij]}$и возьми $$\begin{align}\begin{split} C^{(ij)} &\equiv n^{ij}, \\ C^{[ij]} &\equiv -\epsilon^{ijk}a_k, \end{split}\tag{5}\end{align}$$ определить $n^{ij}$и $a_k$. Здесь мы использовали тот факт, что это трехпараметрическая алгебра, так что антисимметричная часть и вектор имеют одинаковое количество независимых компонент. Другими словами $$\begin{align}\begin{split} n^{ij} &= C^{(i}{}_{k\ell}\epsilon^{j)k\ell}, \\ a_k &= -C^i{}_{ki}. \end{split}\tag{5.1}\end{align}$$ Продолжая, мы позволим $a,b,c$обозначают преобразованные индексы: $\xi_a = \gamma_a^j\xi_j$. Мы также будем использовать $\gamma_i^a$для обозначения обратного $\gamma^i_a$, позволяя индексам сообщить нам, с каким преобразованием мы имеем дело. Из (5.1) очевидно, что $a_c = \gamma_c^ja_j$, но преобразование $n^{ij}$немного сложнее: $$\begin{align} n^{cd} &= C^k{}_{ij}\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab} \\ &= \left(2\delta^k_{[i}a_{j]} + \epsilon_{ij\ell}n^{\ell k}\right)\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab}. \tag{6} \end{align}$$ Прямое вычисление проверяет, что первый член в (6) обращается в нуль, и мы имеем $$\begin{align} n^{cd} &= \epsilon^{ab(d}_{ij\ell}\gamma^{c)}_k\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \epsilon^{abe}_{ij\ell}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_k\gamma^m_e\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \epsilon_{ij\ell}^{ijm}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^{(d}_\ell\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^d_\ell\gamma^c_kn^{\ell k}.\tag{6.1} \end{align}$$ Таким образом, кроме фактора $\det(\gamma)$мы обнаружили, что $n^{ij}$преобразовывать, как предполагают его индексы. Заметим, что хотя симметризация в (6.1) обращается в нуль, именно симметризация убивает первый член в (6). Конечно, превращение $q_{ij}$тривиально следует из определения: $$q_{ab} = \gamma^i_a\gamma^j_bq_{ij}.\tag{6.2}$$

Теперь обратите внимание, что если мы запишем наши количества как$3\times 3$матрицы мы можем выразить (6.1) и (6.2) как

$$\begin{align}\tag{6.3} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^T, & \widetilde{n} &= \det(\gamma) \left(\gamma^{-1}\right)^T n \gamma^{-1}, \end{align}$$ При ортогональных преобразованиях мы можем переписать (6.3) в виде $$\begin{align}\tag{6.4} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^{-1}, & \widetilde{n} &= \det(\gamma)\gamma n \gamma^{-1}, \end{align}$$ что, кроме фактора $\det(\gamma)$тождественно взаимному преобразованию двух линейных операторов. Поскольку оба $q_{ij}$и $n^{ij}$симметричны, они диагонализируются ортогональными преобразованиями, откуда можно с уверенностью сказать, что $q$и $n$взаимно диагонализируемы тогда и только тогда, когда существует линейное преобразование, которое приводит их к коммутации как матриц. Технически мы используем тот тривиальный факт, что $n^{ab}$является диагональным тогда и только тогда, когда $\det(\gamma)^{-1}n^{ab}$является.

Хитрость заключается в том, чтобы помнить, что хотя$q_{ij}$и$n^{ij}$преобразуются как матрицы при ортогональных преобразованиях, в общем случае они этого не делают. В частности, диагональные преобразования позволяют масштабировать собственные значения. Точнее, мы можем предположить без ограничений, что$q_{ij}$был диагонализирован. Затем компоненты коммутатора задаются выражением

$$\begin{align} q_{1i}n^{i2} - n^{1i}q_{i2} &= (q_{11} - q_{22})n^{12}, \\ q_{1i}n^{i3} - n^{1i}q_{i3} &= (q_{11} - q_{33})n^{13}, \\ q_{2i}n^{i3} - n^{2i}q_{i3} &= (q_{22} - q_{33})n^{23}, \end{align}$$ и при подходящем диагональном преобразовании (таком как нормализация) мы можем получить $q_{11} = q_{22} = q_{33}$, поэтому коммутатор обращается в нуль. Как отмечалось выше, мы можем тогда диагонализовать $n^{ij}$не нарушая ортогонализации, а поскольку ортогональное преобразование не меняет собственных значений, все собственные значения $q_{ij}$идентичны. Поэтому мы можем выбрать $a = (a,0,0)$без ограничений. Затем мы можем нормализовать $n^{ij}$, и если можно $a$(в силу (6.1) можно нормировать $a$если и только если $n^{22} = 0$, $n^{33}=0$, или и то, и другое), хотя при этом мы можем разрушить нормализацию нашей триады (что также отмечают авторы статьи).