Физическая интуиция спинорной связи и спинорных пучков?

Я пытался узнать, как выразить уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени , и, просматривая различные ресурсы, я обнаружил, что концепции спинорного пучка и спиновой связи продолжают всплывать. Я продолжаю путаться в формализме, который пытается описать спин. Я знаком с понятиями векторных расслоений и связей на векторных расслоениях и хотел бы понять, как эти понятия связаны со спином. Чтобы сделать этот вопрос немного менее открытым, я объясню свою интуицию в отношении векторных расслоений и их связи, объясню, почему я запутался в спиновой связи и спинорном расслоении, и задам более острые вопросы в конце.

Векторные расслоения: задано многообразие$M$мы хотели бы присоединить k-мерное векторное пространство к каждой точке таким образом, чтобы локально на многообразии векторные пространства выглядели как пространство произведения$M \times \mathbb{R}^n$. Априори эти векторные пространства на самом деле не взаимодействуют друг с другом в том смысле, что не существует четко определенного способа сложения и вычитания векторов, лежащих в разных векторных пространствах, то есть векторных пространствах, прикрепленных к разным точкам на многообразии. . Итак, мы вводим связность на расслоении, чтобы иметь возможность вычитать точки рядом друг с другом на многообразии. Это позволяет нам брать производные и определяет ковариантную производную$D_\mu = \partial_\mu + A_\mu$, где матрицы$A_\mu$являются символами Кристоффеля (или калибровочными полями и т. д.) в некоторой системе координат на многообразии и репере расслоения. В физической литературе поля$A_\mu$часто вводятся как фиктивный фактор, предназначенный для наложения условия калибровочной ковариации на$D_\mu$. Ковариация означает преобразование$\psi \rightarrow U \psi$и соответствующий$D_\mu \psi \rightarrow U D_\mu \psi$, что на языке расслоения соответствует изменению координат на расслоении.

Спиновая связь: Насколько я понимаю (из Wiki ), спиновая связь описывает обобщенные тензоры, построенные в терминах локальных ортонормированных систем отсчета. Во-первых, вы строите локальные поля фрейма, или виербейны,$e^a _\mu$. Тогда вы относитесь к латыни$a,b,c,...$индексы как новый тип тензорного объекта, в то время как вы обрабатываете греческие индексы$\mu,\nu,...$как стандартные касательные векторы или ковекторы. Есть разные коэффициенты связи${{\omega_\mu}^b}_c$для латинских индексов, чем для коэффициентов Кристоффеля${\Gamma}^\lambda_{\mu \nu}$. $\omega$вычисляются с условием, что ковариантная производная убивает виербейнов, т. е. что$D_\rho e^a _\mu = \partial_\rho e^a _\mu + {{\omega_\mu}^a}_b e^a _\mu - {\Gamma}^\lambda_{\mu \rho} e^a _\lambda = 0$и что$D_\rho \eta_{a b} = 0$.

Spinor Bundle: это концепция, которая смущает меня больше всего. Как я понял, спин-группа двойная обложка$SO(n)$соответствующих спинорам, поскольку$360^o$вращение должно быть равно -1, как для спиноров, и$720^o$вращение должно быть тождеством. Алгебра, которая входит в эту конструкцию, очень сбивает меня с толку, особенно потому, что у меня нет интуиции/мотивации, чтобы понять, откуда она взялась. Таким образом, я также не понимаю, как изображение пакета получается из этого

Итак, наконец, мои вопросы:

1. Кажется, что спиновая связь полностью зависит от метрического тензора$g_{\mu \nu}$, так как фреймы Вирбейна строятся из$g_{\mu \nu}$а определяющие уравнения тензора опираются только на связи Вирбейна и Кристоффеля. Добавляет ли спиновая связь какую-либо дополнительную структуру к метрике или она полностью зависит от метрики?
2. Что представляют собой эти обобщенные спин-тензорные объекты с латинским индексом, такие как$e^a_\mu$и почему они должны быть значимы для спиноров?
3. Какие волокна связаны со спинорным пучком и как спинорное соединение геометрически соответствует их «соединению»?

В целом, в идеале я хотел бы увидеть, как все эти разные концепции «связаны» (плохой каламбур, извините) в максимально интуитивном смысле. Любые соответствующие ресурсы или дополнительные комментарии приветствуются!