Почему вектор эксцентриситета всегда указывает на перицентр орбиты?

$$\newcommand{\a}{\mathbf{\ddot{\vec{r}}}} \newcommand{\v}{\mathbf{\dot{\vec{r}}}} \newcommand{\x}{\times} \newcommand{\r}{\mathbf{\vec{r}}} \newcommand{\h}{\mathbf{\vec{h}}} \newcommand{\e}{\mathbf{\vec{e}}} \newcommand{\L}{\mathbf{\vec{L}}} \newcommand{\p}{\mathbf{\vec{p}}}\newcommand{\A}{\mathbf{\vec{A}}}\newcommand{\o}{\mathbf{\cdot}}$$

Вектор эксцентриситета ($\e$) является сохраняющейся величиной (несколько длинное и извилистое доказательство в конце), так что вы можете вычислить его величину в любом месте на любой понравившейся вам орбите, но есть определенные места, где ответ найти легче, чем другие. Охота за самым простым из них приведет вас к периапсису, и именно его мы используем для определения стандартной формулы.

$\h=\r\x\v$, поэтому, когда вы записываете его скалярную величину, проще всего это сделать в апоцентре и перицентре, потому что тогда ответ будет просто$r\dot{r}$, величина радиуса, умноженная на величину скорости, без триггерной функции углового члена, потому что только вдоль линии апсид$\r$и$\v$перпендикуляр. Затем, когда вы пытаетесь вычислить величину$\r\x\h = \v\x(\r\x\v)$, вы снова обнаружите, что проще всего это сделать либо в перицентре, либо в апоапсисе, т.к.$r\dot{r}^2$. На кого из двух он указывает, кажется делом вкуса, но то, что он должен указывать на один из них, кажется мне естественным.

Доказательство, предложенное мне в комментарии Дэвида Хаммена, выглядит как результат того, что можно было бы назвать грубым поиском сохраняющихся величин, в котором виды векторов, которые обычно встречаются в задачах механики (положение, скорость, импульс...) комбинируются различными способами, и мы берем их производные по времени в поисках чего-то, что равно нулю. Почему мы берем производные от этих конкретныхкомбинаций, а не многих других, которые мы могли бы рассмотреть, потому что именно они побудили физиков, таких как Лаплас (в 1799 г.), найти интересные нули и опубликовать их. Это похоже на ловкость рук --- создание, казалось бы, случайных комбинаций векторов положения и скорости только для того, чтобы посмотреть, что произойдет, а затем удивление, что наткнулись на формулу, которая дает уравнение орбиты --- но на самом деле это просто зная ответ и работая в обратном направлении.

В большинстве учебников используется один и тот же базовый подход; например, то, как Говард Кертис обращается с этим в книге « Орбитальная механика для студентов-инженеров» (4-е издание, страницы 67–74, 2020 г.), близко соответствует методу классической механики Герберта Гольдштейна (2-е издание, страницы 102–105, 1980 г.), но добавляет куча картинок и показывает гораздо больше промежуточных шагов в алгебре. Я научился этому у Гольдштейна, но он исходит из уравнения Эйлера-Лагранжа , которое, я не думаю, всем известно. Однако я буду держать вещи как можно более общими и так долго, как смогу.

Физикам нравится импульс, как линейный импульс ($\p$) и угловой момент ($\L=\r\x\p$), отчасти потому, что во многих ситуациях, представляющих практический интерес, один или оба сохраняются , то есть их значения не меняются со временем. Выражения для$\p$может немного усложниться, например, когда вводится электромагнетизм, но сейчас мы рассмотрим самый простой случай,$\p=m\v$. Затем$\L=m\r\x\v$, и$\h=\L/m=\r\x\v$. Рассмотрим теперь производную от$\h$по времени с помощью правила произведения:

$$\frac{d\h}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\r\x\v\right) = \frac{d\r}{dt}\x\v + \r\x\frac{d\v}{dt} = \v\x\v + \r\x\a$$

Мы знаем$\v\x\v$всегда равен нулю по определению векторного произведения. Для любой силы, действующей параллельно радиальному вектору положения,$m\a=\mathbf{\vec{F}}=f(r)\r/r=f(r)\mathbf{\hat{r}}$, так$\r\x\a$пропорциональна$\r\x\r$, который также всегда равен нулю по определению, поэтому для любой такой силы (которую мы называем центральной ) момент импульса сохраняется ($\mathbf{\dot{\vec{L}}}=m\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$). Так как это сработало для нас, давайте сделаем это снова, но с учетом двух других комбинаций.

Во-первых, возьмите производную по времени от квадрата величины вектора положения,$r^2=\|\r\|^2=\r\o\r.$У нас есть

$$\frac{d}{dt}r^2 = 2r\dot{r}\ \ \mathrm{and} \ \ \frac{d}{dt}\r\o\r = \v\mathbf{\cdot}\r + \r\o\v = 2\r\o\v\ \ ,$$ которые объединяются, чтобы сказать нам, что$\r\o\v=r\dot{r}$, в общем. Это еще один способ сказать движение, где$\v$всегда перпендикулярно$\r$движение, где$\dot{r}=0$, что означает, что путь представляет собой круг. Будьте осторожны здесь:$\dot{r}$является производной величины вектора положения, которая обычно не равна величине производной вектора положения (то есть скорости, а при круговом движении может быть вообще чем угодно). Обратите внимание, что если координаты определены относительно произвольного наблюдателя,$r$- расстояние от движущегося объекта до наблюдателя, а$\dot{r}$это скорость дальности , с которой объект приближается (отрицательное$\dot{r}$), удаляясь (положительный$\dot{r}$) или оставаться на том же расстоянии (потому что либо$\v=0$или$\r\o\v=0$), так$\dot{r}=\r\o\v/r$дает доплеровский сдвиг , умноженный на скорость сигнала.

Во-вторых, возьмите производную по времени от$\p\x\L = m\v\x m\h$, что равно$m^2\a\x\h$с$\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$. Теперь начинается самое интересное. Если мы ничего не знаем о законе силы, нам придется остановиться. Но для центральной силы мы знаем$m\a=f(r)\r/r$, так

$$m^2\a\x\h = \frac{mf(r)}{r} \r \x (\r\x\v) = \frac{mf(r)}{r} \left[ \r (\r\mathbf{\cdot}\v) - \v(\r\o\r)\right] = \frac{mf(r)}{r} \left( r\dot{r}\r - r^2\v\right)$$ с помощью идентификатора вектора, часто называемого правилом «BAC-CAB» .

Взяв еще одну производную по времени, казалось бы, наугад,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\r}{r}\right)=\frac{r\v-\dot{r}\r}{r^2} = \frac{\a\x\h}{r^3} \frac{r}{mf(r)}$$ Это означает, что если$f(r)=-k/r^2$для некоторой константы$k$, сила обратного квадрата, которую мы все знаем и любим (включая закон Гаусса в электричестве, а также закон тяготения Ньютона), то $$\frac{d}{dt}\left(\p\x\L\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{mk\r}{r}\right)$$ так$\A=\p\x\L-mk\r/r$имеет нулевую производную по времени и, таким образом, является сохраняющейся величиной, которую мы искали.

Теперь, что мы знаем о$\A$? Хорошо,$\A\o\L=0$, с$\L$перпендикулярно$\p\x\L$и$\r$перпендикулярно$\L=\r\x\p$, так$\A$должны лежать в одной плоскости с$\r$и$\v$. Теперь давайте напишем$\A\o\r = Ar\cos\theta$обычным способом, с$\theta$как угол между векторами$\A$и$\r$. Поскольку тройное скалярное произведение является циклическим, мы можем сказать$(\p\x\L)\o\r = (\r\x\p)\o\L = \L\o\L$, так$Ar\cos\theta=L^2-mkr$. Переписывание приводит нас к

$$\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)$$ Последним шагом является небольшая возня с уравнениями энергетического баланса, чтобы обнаружить, что эксцентриситет эллипса орбиты относительно его большой полуоси$a$, угловой момент$L$, масса$m$и силовая постоянная$k$является$e=\sqrt{1-L^2/mka}$, так$a(1-e^2)=L^2/mk$, что означает наше уравнение для$\A\o\r$дает точно формулу эллиптической орбиты$r=a(1-e^2)/(1+e\cos\theta)$, пока$A=mke$и$\theta$является истинной аномалией, что означает$\A$указывает на перицентр.

Это доказательство становилось все труднее следовать по мере того, как я продвигался вперед, и последняя часть опасно близка к «и тогда происходит чудо», но я уже написал слишком много для сегодняшнего дня. Если кто-то еще увидит хороший способ очистить это, пожалуйста, продолжайте.