Почему вектор теплового потока в точке должен быть перпендикулярен температурной изотермической поверхности? Это определение или вывод?

Тепловой поток является вектором, потому что он имеет величину и направление. Кроме того, оно обладает этими свойствами в каждой точке пространства, что делает его векторным полем. Можно провести аналогию с потоком массы в среде с неоднородной плотностью; диффузия будет стремиться везде уравнять плотность, поэтому в каждой точке будет специфическое движение массы, определяемое ее непосредственным окружением.

Направление теплового потока задает для каждой точки направление наибольшего падения температуры.

Наконец, тепловой поток является нормальным к изотермической поверхности, потому что в противном случае он имел бы тангенциальную составляющую вдоль изотермической поверхности в этой точке. Это, в свою очередь, означало бы, что вдоль поверхности будет ненулевой температурный градиент (разность), что будет означать, что это не изотермическая поверхность.

Дополнительные ресурсы:

http://www.et.byu.edu/~vps/ME340/ME340.htm

http://www.amazon.com/books/dp/0470501960

http://freevideolectures.com/Course/3005/Теплопередача/1

На самом деле это даже не правильно. Градиент температуры нормален к изотермической поверхности, что является простым математическим следствием локального разложения Тейлора.$T({r}_0+\delta{{r}})=T(r_0)+(\partial{T}/\partial{r}) \delta r$. Однако в общем случае тепловой поток не является локальным (т. е. тепловой поток в данной точке не определяется только локальной температурой и ее градиентом); но даже если он локальный, тепловой поток, вообще говоря, не коллинеарен градиенту температуры из-за транспортной анизотропии, поэтому правильное соотношение$\vec{q}=-\hat{\kappa} \nabla(T)$где$\kappa$– тензор теплопроводности. Например, в замагниченной плазме анизотропия переноса тепла может быть на много порядков, а в магнитоудерживаемой плазме тепловой поток обычно направлен не ортогонально к изотермической поверхности, а почти точно вдоль поверхности (вдоль силовой линии магнитного поля, т.е. точный).

Однако, если мы предполагаем изотропный перенос (как, кажется, подразумевается вопрос), то стандартный тип аргумента, используемый для диффузионного процесса, как, например, в статье Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27s_laws_of_diffusion объясняет, почему поток падает вниз по градиенту температуры.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы ответить на новые сформулированные вопросы, это основной принцип термодинамики, что тепло течет от горячих тел к холодным. Направление вектора теплового потока именно такое. Следовательно, должно быть очевидно, почему этот вектор ортогонален изотермическим поверхностям, если мы примем этот принцип. Закон Фурье — это просто уточненная формулировка этого принципа, который также сообщает нам соотношение между величинами градиента температуры и теплового потока.

Предположим, у вас есть ящик, в котором существует градиент температуры от левой стороны ящика к правой стороне, причем левая сторона является более теплой стороной. Количество тепла, которое проходит через коробку в единицу времени, пропорционально градиенту температуры и площади поверхности стороны коробки. Это закон Фурье.

В более сложной ситуации тепло может течь в различных направлениях. Тепловой поток$dQ/dt$описанный в приведенной выше формуле, является тепловым потоком$\vec{q}$как текущий$I$к плотности тока$\vec{j}$в электромагнетизме. Тогда градиент температуры становится$\nabla T$в наиболее общей векторной форме, где$\nabla$является оператором градиента. Тогда у нас есть

Градиент температуры является аналогом разности потенциалов в электромагнетизме. А закон Фурье является аналогом закона Ома.

Вот разъяснение определения потока

или альтернативно