Установка

Прозрачная изотропная диэлектрическая среда, движущаяся в отрицательном$x'$направление на скорости$v$в кадре$S'$стоит в кадре$S$, где он имеет показатель преломления$n$. Другими словами, кадр$S'$движется со скоростью$v$в положительном$x$направление относительно кадра$S$. Мы считаем, что начало двух кадров совпадает в$t = 0$.

Рассчитать показатель преломления$n'$в кадре$S'$испытывает свет, путешествующий внутри диэлектрика вдоль$y$-ось в кадре$S$.

Ниже я нарисовал схему установки.

Я нашел два подхода к этому вопросу, оба из которых дают мне разные ответы. Я надеялся, что кто-нибудь сможет указать на недостаток одного из этих методов.

Способ 1

4-волновой вектор фотона, движущегося под углом$\theta$к$x$-ось в$x$-$y$самолет

$$K = (\omega/c, k \cos \theta, k \sin \theta, 0 )$$

Применяя преобразование Лоренца к этому вектору, мы приходим к следующим соотношениям между частотой, волновым числом и углом в$S'$и эти количества в$S$:

$$\omega'/c = \gamma\omega/c - \gamma\beta k \cos \theta$$ $$k' \cos \theta' = \gamma k \cos \theta - \gamma \beta \omega /c$$ $$k' \sin \theta' = k \sin \theta$$

показатель преломления в$S'$определяется

$$\omega'/k' = c/n' \qquad \implies \qquad n' = ck'/\omega'$$

Мы устанавливаем$\theta = \pi/2$, что соответствует движению в$y$-направление. Затем суммируя квадраты нижних двух уравнений, чтобы исключить$\theta'$, извлекая квадратный корень, а затем разделив результат на первое уравнение, находим:

$$ck'/\omega' = \frac{c}{\omega\gamma} \sqrt{k^2 + \frac{\gamma^2\beta^2 \omega^2}{c^2}}$$

Если мы возьмем коэффициент$k^2$снаружи мы можем написать это так:

$$ck'/\omega' = n' = \frac{n}{\gamma} \sqrt{1 + \frac{\gamma^2\beta^2 }{n^2}}$$

Способ 2

Здесь я использую более «основной» подход. Мы можем идентифицировать два события в пространстве-времени — точку, в которой конкретный фотон входит в диэлектрическую среду, и точку, в которой он уходит. Определим координаты в кадре$S$первого из этих событий должно быть$(0,0,0,0)$. Затем в$S$мы знаем, что координаты точки, в которой фотон покидает среду, равны$(ct, 0, y, 0)$, где$t$и$y$связаны$c/n = y/t$--- это просто скорость = расстояние/время. Применяя преобразование Лоренца к этим двум точкам, чтобы найти координаты в$S'$:

$$\mathrm{entrance}_{S'} = (0,0,0,0) \qquad \mathrm{exit}_{S'} = (\gamma ct, -\gamma \beta ct, y, 0)$$

Таким образом, полное время прохождения фотона через блок равно$\gamma t$, в то время как общее пройденное расстояние, по Пифагору,

$$\sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + y^2}$$

Разделив эти величины, мы должны получить$c/n'$, скорость фотона. Следовательно, мы можем написать

$$n' = \frac{c \gamma t }{ \sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + y^2}} = \frac{c \gamma t }{ \sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + c^2 t^2 / n^2}}$$

Итак, у нас есть

$$n' = \frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^2 \beta^2 + 1/n^2}}$$

что не совпадает с первым выражением. Я предполагаю, что где-то здесь я сделал очень глупую ошибку, но я не могу ее заметить!