Вывод закона отражения для движущегося зеркала в теории относительности

Здесь задействованы две инерциальные системы отсчета; «загрунтованный» кадр, в котором зеркало находится в состоянии покоя, и «незагрунтованный» кадр, в котором зеркало движется в направлении, противоположном нормали к поверхности зеркала. Обозначьте координаты таким образом, чтобы направление движения зеркала (т. е. направление, противоположное нормали к поверхности) было$x$и$x'$направлении, другое направление в плоскости, содержащей падающий и отраженный лучи, называется$y$и$y'$направление, и направление, которое не имеет значения для этой проблемы, является$z$и$z'$направление.

В любой системе координат компоненты 3-скорости падающего фотона задаются проекциями 3-скорости на оси координат. То есть трехкратная скорость падающего фотона, измеренная в каждой из двух систем отсчета, равна

$$\mathbf{u}_i=\left(\begin{array}{c}c\cos\theta_i \\ c\sin\theta_i \\ 0\end{array}\right)$$

и

$$\mathbf{u}'_i=\left(\begin{array}{c}c\cos\theta'_i \\ c\sin\theta'_i \\ 0\end{array}\right)\ \ ,$$

где$\theta_i$и$\theta'_i$- угол падения, измеренный в каждой из двух систем отсчета, и$c$конечно скорость света.

Вывод в вопросе использует версию формулы сложения релятивистских скоростей , доказательство которой можно найти в статье, связанной с Википедией. Эта формула утверждает, что если загрунтованная система координат движется со скоростью$v$в$x$направление, измеренное в незаштрихованной системе отсчета, движется вдоль$x$и$x'$направления, измеренные в каждом из двух кадров, связаны как

$$u_x=\frac{u'_x+v}{1+v u'_x/c^2}\ \ .$$

Подключение$x$и$x'$компоненты$\mathbf{u}_i$и$\mathbf{u}'_i$в релятивистское уравнение сложения скоростей, т.е. установив

$$u_x=c \cos\theta_i$$

и

$$u'_x = c \cos\theta'_i$$

дает

$$c \cos\theta_i=\frac{c \cos\theta'_i+v}{1+v c \cos\theta'_i/c^2}\ \ .$$

Разделив обе части этого уравнения на$c$дает

$$\cos\theta_i=\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}\ \ ,$$

где$\beta = v/c$.

Мы можем выполнить аналогичную процедуру с отраженным фотоном. Трехкратная скорость отраженного фотона, измеренная в каждой из двух систем отсчета, равна

$$\mathbf{u}_r=\left(\begin{array}{c}-c\cos\theta_r \\ c\sin\theta_r \\ 0\end{array}\right)$$

и

$$\mathbf{u}'_r=\left(\begin{array}{c}-c\cos\theta'_r \\ c\sin\theta'_r \\ 0\end{array}\right)\ \ ,$$

где$\theta_r$и$\theta'_r$- угол отражения, измеренный в каждой из двух систем отсчета. В случае отраженного фотона значения, которые мы подставляем в формулу сложения релятивистской скорости, равны

$$u_x=-c \cos\theta_r$$

и

$$u'_x = -c \cos\theta'_r\ \ ,$$

давать

$$- c \cos\theta_r=\frac{-c \cos\theta'_r+v}{1+v (-c \cos\theta'_r)/c^2}\ \ .$$

Разделив обе части этого уравнения на$-c$дает

$$\cos\theta_r=\frac{\cos\theta'_r-\beta}{1-\beta \cos\theta'_r}\ \ .$$

Приведенные выше формулы для$\cos\theta_i$и$\cos\theta_r$неудобны для целей сравнения$\theta_i$и$\theta_r$, во многом благодаря$\theta'_i$и$\theta'_r$каждый появляется дважды в уравнениях. Мы можем прийти к более простым уравнениям, используя формулу тангенса половинного угла

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\ \ .$$

Применяя формулу тангенса половины угла к$\theta_i$дает

$$\begin{align} \tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)&=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_i}{1+\cos\theta_i}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}}{1+\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}}}\\ &=\sqrt{\frac{1+\beta \cos\theta'_i-(\cos\theta'_i+\beta)}{1+\beta \cos\theta'_i+\cos\theta'_i+\beta}}\\ &=\sqrt{\frac{(1-\beta)(1-\cos\theta'_i)}{(1+\beta)(1+\cos\theta'_i)}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\sqrt{\frac{1-\cos\theta'_i}{1+\cos\theta'_i)}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_i}{2}\right)\ \ . \end{align}$$

Применяя формулу тангенса половины угла к$\theta_r$будет действовать аналогично, за исключением того, что$\theta'_i$везде заменяется$\theta'_r$, и$\beta$везде заменяется$-\beta$. Таким образом, результат

$$\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)$$

или

$$\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\ \ .$$

Но поскольку зеркало не движется в загрунтованной рамке, в загрунтованной рамке действует нормальный закон отражения,$\theta'_i=\theta'_r$, и так у нас есть

$$\begin{align} \tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)&=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_i}{2}\right)\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\left(\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\right)\\ &=\left(\frac{1-\beta}{1+\beta}\right)\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\ \ , \end{align}$$

который должен был быть показан результат.

Обратите внимание, что для$0<\beta<1$,

$$0<\left(\frac{1-\beta}{1+\beta}\right)< 1\ \ ,$$

так

$$\tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)<\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)$$

и$\theta_i<\theta_r$.

ДОПОЛНЕНИЕ:

В ответ на комментарии к этому ответу ниже приводится дополнительное разъяснение сбивающего с толку утверждения в вопросе о том, что «Для изменений отраженного луча$\theta$раньше было$\theta_i$сейчас$\theta =\pi-\theta_r$, сходным образом$\theta'= \pi- \theta'_r$волны$\cos \theta = - \cos (\theta_r)$":

Для трехскоростного$\mathbf{u}$в целом,$x$компонент$\mathbf{u}$,$u_x$, задается скалярной проекцией$\mathbf{u}$на$\hat{\mathbf{x}}$, единичный вектор в$x$направление. Согласно статье Википедии о скалярной проекции , скалярная проекция может быть выражена как

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta\ \ ,$$

где$\left|\mathbf{u}\right|$длина$\mathbf{u}$, и$\theta$это угол между$\mathbf{u}$и$\hat{\mathbf{x}}$.

Скорость падающего или отраженного фотона равна$c$, т.е.

$$\left|\mathbf{u}_i\right|=\left|\mathbf{u}_r\right|=c\ \ ,$$

поэтому в любом случае мы используем$\left|\mathbf{u}\right|=c$в скалярном проекционном уравнении для$u_x$.

Угол падения $\theta_i$определяется как угол между$-\mathbf{u}_i$и$\hat{\mathbf{n}}$, где$\hat{\mathbf{n}}$- единица нормали к зеркальной поверхности. Но этот угол равен углу между$\mathbf{u}_i$и$-\hat{\mathbf{n}}$, что равно углу между$\mathbf{u}_i$и$\hat{\mathbf{x}}$, так как мы определили нашу систему координат так, что$\hat{\mathbf{x}}=-\hat{\mathbf{n}}$. Таким образом, при обращении с$\mathbf{u}_i$, мы просто используем$\theta=\theta_i$в скалярном проекционном уравнении для$u_x$, т.е.

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta=c\cos \theta_i\ \ ,$$

как в исходном ответе выше.

С другой стороны, угол отражения$\theta_r$определяется как угол между$\mathbf{u}_r$и$\hat{\mathbf{n}}$. Угол между$\mathbf{u}_r$и$\hat{\mathbf{x}}$отличается от$\theta_r$к$\pi$радианы, потому что угол между$\hat{\mathbf{n}}$и$\hat{\mathbf{x}}$является$\pi$радианы. Таким образом, имея дело с отраженным фотоном, мы используем$\theta=\pi-\theta_r$вместо$\theta=\theta_i$в скалярном проекционном уравнении для$u_x$,

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta=c\cos (\pi-\theta_r)=-c\cos\theta_r\ \ ,$$

как в исходном ответе.

Скалярные проекционные уравнения для$u'_x$такие же, как скалярные проекционные уравнения для$u_x$, по тем же причинам, за исключением того, что они используют$\theta'_i$и$\theta'_r$вместо$\theta_i$и$\theta_r$.

Я бы разместил это видео в качестве ответа: https://www.youtube.com/watch?v=v8lzsYh3JRY&list=PLj6DWzIvBi4PFDXCCV1bNhVUgDLTwVbFc&index=13

Вариантом может быть направление горизонтального луча света на зеркало, установленное под углом 45 градусов на движущемся корабле. В любом случае (световые часы или зеркало) результирующий луч будет вертикальным. В видео показано, как рассчитать угол от вертикали, видимой со стационарной точки зрения движущихся световых часов или зеркала. Вместо использования замедления времени та же проблема может быть решена путем сокращения длины основания зеркала под углом 45 градусов, хотя это гораздо более сложный способ решения проблемы. Это решение можно увидеть здесь:

https://www.physicsforums.com/threads/45-dergree-mirrors-in-special-relativity.352427/