Получение информации об устойчивости из графиков Боде

Если существует ω=φ такое, что |KG(jφ)| = 1 и ∠(KG(jφ)) = -180°, то мы знаем, что s=jφ должен быть полюсом.

Это неверно и ведет к недоразумениям.

Полюса системы являются корнями характеристического уравнения передаточной функции разомкнутого контура .

$$KG(s)=0$$

корни имеют вид

$$s=\sigma+j\omega$$

Это полюса и нули, которые анализируются на графике Боде.

Как только петля замыкается, полюса перемещаются, чтобы стать корнями характеристического уравнения.

$$1+KG(s)=0$$ Компенсацию контура можно рассматривать как метод перемещения полюсов разомкнутого контура в более подходящие (стабильные) положения в замкнутом контуре. Это может даже выполняться непосредственно с помощью размещения полюсов .

Однако анализ устойчивости Боде основан на критерии устойчивости Найквиста. Таким образом, условием возникновения колебаний в системе с отрицательной обратной связью является единичное усиление и фазовый сдвиг на 180 градусов:

$$KG(s) = -1$$ и, следовательно, график Боде иллюстрирует «условие устойчивости» путем перестановки $$KG(s)+1=0$$

Это оказывается тем же уравнением, что и характеристическое уравнение замкнутого контура . Но было бы ошибкой рассматривать это как относящееся к графикам устойчивости Боде, которые представляют собой анализ разомкнутого цикла.

Критерий устойчивости Найквиста также говорит нам, что в целом (но есть исключения) замкнутая система является стабильной, если пересечение единичного усиления графика амплитуды происходит на более низкой частоте, чем пересечение фазового графика -180 градусов.

Я могу найти много информации о том, как рассчитать запасы по усилению и фазе из графиков Боде, но не могу найти надлежащего обоснования этих правил с точки зрения положения полюсов.

В принципе, вы спрашиваете о связи между поведением систем во временной области (свойства стабильности) и частотной области (расположение полюсов), верно?

Что ж, на это можно ответить так:

• Когда вы вычисляете переходную характеристику (временную область), вы должны решить дифференциальное уравнение, введя экспоненциальный «Анзац» exp (st) (с самого начала, не зная значения символа «s»; вы знаете только его размер: 1 раз). В результате вы придёте к решаемому уравнению - так называемому "характеристическому уравнению" P(s)=0 системы. Решение этого уравнения - вместе с правильной интерпретацией этого решения - дает вам следующую информацию: Неизвестная величина "s" является комплексной и может быть интерпретирована как комплексная частота "s=sigma+jw". Как следствие, переходная характеристика будет иметь форму exp(sigma*t)*sin(wt) . Отсюда можно сделать вывод, что действительная часть «s»

• При вычислении передаточной функции (второго порядка) H(s)=N(s)/D(s) вы увидите, что знаменатель D(s) состоит из полинома второго порядка вида (1+ As +Bs²) . И вы также заметите, что этот многочлен идентичен вышеупомянутому char. многочлен P(s). Это тождество устанавливает связь между временной и частотной областями, поскольку полюса передаточной функции (вытекающие из P(s)=0) идентичны корням символа. уравнение. Поскольку мы видели, что действительная часть «сигма» этого корня должна быть отрицательной, у нас есть требование в частотной области: действительная часть «сигма» полюса должна быть отрицательной.

• Насколько я знаю, не существует формулы, описывающей соотношение между запасом по фазе и положением полюса. Однако существует фиксированная связь между ( поправка:) положением полюса и добротностью полюса [Qp=1/2*cos(phi)] , phi=угол между отр. действительная ось и вектор полюса. С другой стороны, усиление передаточной функции (вблизи частоты полюса) связано с Qp, и мы также можем связать усиление с запасом по фазе. Следовательно, существует более или менее косвенная связь между запасом по фазе и положением полюса (действительной части).

• Один общий комментарий: нахождение ПРЯМОЙ связи между полюсами системы и запасом устойчивости является «проблемным», поскольку запасы устойчивости определяются для разомкнутой системы (LOOP GAIN), тогда как положение полюсов исследуется для замкнутой системы.

Замечание: Однако можно показать, что в довольно хорошем приближении справедливо следующее выражение для системы второго порядка и запаса по фазе PM<65° : PM=50/Qp (в градусах). При этом следует учитывать, что запасы по фазе, превышающие 65 град. достаточно некритичны.