Ангармонический осциллятор QM - диаграммы Фейнмана, расчет свободной энергии

Если выражение для пропагатора, которое вы предоставили, правильное, интеграл не такой уж пугающий, как может показаться на первый взгляд. По сути, мы столкнулись с интеграцией,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^n(a-b|\tau-\tau'|)$$

для$a,b, c>0$и$n \in \mathbb Z$. я продемонстрирую$n=2$случай. Мы можем расширить подынтегральную функцию как,

$$\cosh^2(a-b|\tau-\tau'|) = \frac12 + \frac14 e^{2a} e^{-2b|\tau-\tau'|} + \frac14e^{-2a}e^{2b|\tau-\tau'|}.$$

Таким образом, единственная сложная часть — выяснить, как интегрировать,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{\gamma |\tau-\tau'|}, \quad \gamma \in \mathbb R.$$

Мы видим, что мы интегрируем по квадрату$[0,c]\times[0,c]$. Мы можем разделить этот квадрат по диагонали на две области, верхний треугольник с$\tau-\tau' <0$и нижняя половина с$\tau-\tau' >0$, и тогда мы можем суммировать вклады. Для нижней половины у нас было бы,

$$\int_0^c d\tau \int_0^\tau d\tau' \, e^{\gamma(\tau-\tau')} = \frac{1}{\gamma}\int_0^c d\tau \, (e^{\gamma \tau} -1) = \frac{1}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1).$$

Теперь для верхней области,$|\tau-\tau'| = \tau'-\tau$и у нас есть,

$$\int_0^c d\tau' \int_0^{\tau'} d\tau \, e^{\gamma(\tau'-\tau)} = \frac{1}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1)$$

и так у нас есть,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{\gamma |\tau-\tau'|} = \frac{2}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1).$$

Возвращаясь к оригиналу$n=2$интеграл, используя этот результат и упрощая выходы,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^2(a-b|\tau-\tau'|) = \frac{1}{4b^2} \left[ \cosh(2(a-bc)) - \cosh 2a + 2bc(bc+\sinh 2a)\right].$$

---

Заманчиво теперь обобщить результат для всех четных степеней. Используя обобщенную биномиальную теорему и расширение$\cosh$с точки зрения экспоненты, мы имеем,

$$\cosh^{2n}(x) = \frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} e^{(2n-2k)x} = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} + \sum_{k\neq n} \binom{2n}{k} e^{(2n-2k)x}.$$

Следовательно, интеграл можно записать в виде

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^{2n}(a-b|\tau-\tau'|) = \frac{c^2}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\sum_{k\neq n} \binom{2n}{k} \int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2(n-k)(a-b|\tau-\tau'|)}.$$

Этот интеграл мы уже умеем вычислять:

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2(n-k)(a-b|\tau-\tau'|)} = e^{2a(n-k)}\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2b(k-n)|\tau-\tau'|}$$ $$=\frac{1}{2b^2(k-n)^2}e^{2a(n-k)} \left[ e^{2bc(k-n)} + 2bc(n-k)-1\right].$$

Таким образом, интеграл сводится к конечной сумме из$k=0,\dots, 2n$(без$k=n$), как

$$\frac{c^2(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} + \frac{1}{2b^2}\sum_{k \neq n} \frac{1}{(k-n)^2}\binom{2n}{k}e^{2a(n-k)}\left[ e^{2bc(k-n)} + 2bc(n-k)-1\right].$$

Возвращая пропагатор, подставляя константы, интеграл от$G^{2n}(\tau-\tau')$конечная сумма,

$$\boxed{\frac{(2n)!}{(2\omega)^{2n}\sinh^{2n} \hbar \omega \beta /2} \left[ \frac{\hbar^2 \beta^2}{2^{2n}(n!)^2 } + \frac{1}{2\omega^2} \sum_{k\neq n}\frac{1}{(k-n)^2(2n-k)! k!} e^{\hbar\omega \beta (n-k)} \left( e^{2\hbar\omega\beta(k-n)}+2\hbar\omega\beta(n-k)-1\right)\right]}$$