Помогите определить уравнение силы для этой задачи о круговом движении.

Я думаю, что то, что вы написали в уравнениях, хорошо, но вы преждевременно попытались сделать вывод. Силовое разрешение с одной стороны не даст вам ответа. Массы связаны (они не могут разделиться, и поскольку они находятся на противоположных сторонах, центростремительная сила препятствует их сближению). Напряжение отменяется. Определите центростремительные силы на обоих, чтобы установить общую силу.

$$F=(m_Ar_a-m_B(l-r_a))\omega^2$$

$$\ddot{r}=F/(m_A+m_B)$$

Сделайте две диаграммы свободного тела вдоль$\hat{r}$направление. Рассмотрим расстояния от центра вращения как$r_A$и$r_B$такой, что

$$r_A + r_B = \ell$$ а также

$$\ddot{r}_A + \ddot{r}_B = 0$$

Два уравнения движения выводятся из того факта, что без натяжения радиальное ускорение должно быть$r \omega^2$форму, и что положительное натяжение уменьшает радиальное ускорение.

$$\begin{align} m_A\, r_A\, \omega^2 -T & = m_A\, \ddot{r}_A \\ m_B\, r_B\, \omega^2 -T & = m_B\, \ddot{r}_B \end{align}$$

Приведенные выше два уравнения решаются для напряжения$T$а для радиальных ускорений$\ddot{r}_A = -\ddot{r}_B$.

я получил

$$\boxed{ T = \frac{\ell \omega^2}{\frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B}} }$$

и поэтому$\ddot{r}_A = r_A \, \omega^2 - \frac{T}{m_A}$. Вы можете проверить результат, если поместите объединенный центр масс$\frac{r_A m_A-r_B m_B}{m_A+m_B}=0$в центре вращения. Это делает$\ddot{r}_A=0$что интуитивно понятно, поскольку система находится в равновесии .