Помогите с аналитическим решением закона дисперсии упругой волны с волновым вектором k

Я изучал фононы и колебания решетки и наткнулся на уравнение. Я хочу математическое решение для этого.

$$M\frac{d^2u_n}{dt^2}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

отсюда утверждается, что, поскольку атомы колеблются в нормальном режиме, все частоты колебаний одинаковы, следовательно, решение имеет вид$e^{i\omega t}$предполагается. Мое первое сомнение заключается в том, почему предполагается, что решение имеет эту форму, из того немногого, что я знаю по математике, решение должно быть в форме$A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}$.

Итак, используя вышеизложенное, мы переходим к следующему шагу, вводя это в двойной дифференциал, который мы получаем

$$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

Тогда это говорит о том, что решение можно считать волновым вектором с$k$вектор и с дополнительным фазовым коэффициентом, который масштабируется линейно с положением плоскости. Это утверждение позволяет ему/ей написать, что

$$u_n=ue^{inka}$$ где $a$- шаг решетки. Здесь я полностью теряюсь, может ли кто-нибудь помочь мне с математикой, лежащей в основе вышеизложенного? Мне это действительно нужно, чтобы развить понимание дела.

В моих попытках решить

$$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$ , это будет трактоваться как разностное уравнение второго порядка, и решение будет иметь вид $$u_n={\beta_1}{\lambda_1}^n+{\beta_2}{\lambda_2}^n$$ где $\beta$и $\lambda$можно вычислить, подставив соответствующие значения в уравнение. Пожалуйста, помогите мне с решением, кто-нибудь.