Вопрос о квантовании колебаний решетки (фононов)

В моей программе по физике твердого тела утверждается, что колебания решетки квантуются, аналогично гармоническому осциллятору:

Е "=" ( н + 1 2 ) ℏ ю
Таким образом, колебание решетки имеет нулевую энергию. 1 2 ℏ ю .

Интересно, что это на самом деле означает: квантуются ли таким образом все возможные моды колебаний решетки? Итак, все моды колебаний (акустические/оптические и поперечные/продольные) имеют ненулевую энергию для всех возможных волновых векторов. к → в зоне Бриллюэна? Итак, если я интерпретирую это квантование таким образом, это означает, что решетка все время вибрирует во всех возможных модах вибрации.

Однако в программе они заявляют (несколько раньше (и в переводе на английский язык)) : «Моды колебаний являются чисто продольными или поперечными только в случае достаточной симметрии, например, в некоторых направлениях кубической кристаллической структуры. В противном случае волны состоят из смесь двух». (Я думаю, что это относится к направлению [100] в кубическом кристалле)

Кажется, это противоречит идее о том, что продольные и поперечные моды должны иметь нулевую энергию. Я надеюсь, что кто-то может прояснить это.

Извините, но я не могу понять вашу цитату. Можешь попробовать прояснить?
Я пытался очистить его, надеюсь, теперь это лучше. Оригинальная цитата на голландском языке, но я вижу, что вы живете в Амстердаме, так что, вероятно, вы ее поймете (извините, если это не так). Поэтому я хотел бы буквально процитировать то, что написал автор: «Enkel in een situatie met voldoende hoge symmetrie, zoals in bepaalde richtingen van een kubisch kristal zijn de trillingen zuiver longitudinaal of transversaal;

Ответы (1)

В классической механике кристалл можно описать (в некотором приближении) гамильтонианом, представляющим собой квадратичную форму по координатам и импульсам атомов. После диагонализации этой квадратичной формы вы получите гамильтониан набора независимых, а не связанных осцилляторов (мод). Затем вы можете проквантовать эту систему и получить энергию нулевой точки для каждой независимой моды (кстати, эта энергия 1 2 ℏω, а не ℏω). Однако не все независимые моды являются чисто продольными или поперечными. Другими словами, продольные моды часто связаны с поперечными модами и, следовательно, они не являются независимыми модами, которые вы получаете в результате диагонализации. Другими словами, продольные и поперечные моды представляют собой некоторые линейные суперпозиции независимых мод (которые также называются собственными модами, или характеристическими модами, или нормальными модами:-)).

Спасибо, кажется, я немного начинаю это понимать. Интересно, есть ли п атомов в примитивной клетке, то есть 3 п моды (поперечная и продольная) для каждого волнового вектора к → это разрешено. Есть ли также 3 п нормальные моды на волновой вектор? Итак, могу ли я сказать, что для каждого волнового вектора есть 3 п нормальные моды, которые представляют собой линейные суперпозиции 3 п поперечной и продольной мод? Так с Н атомов в решетке (что означает Н разрешенных волновых векторов) существуют 3 п Н нормальные режимы? (Это может быть тривиально, но для меня сейчас довольно сложно сказать)
Я не совсем понимаю. Насколько мне известно, количество мод принято считать для кристалла в целом. Если у вас есть Н атомов в кристалле, каждый атом имеет 3 поступательные степени свободы, поэтому кристалл имеет 3 Н соответствующих степеней свободы, поэтому число фононных мод равно 3 Н − 6 (нам нужно вычесть 6 = 3 перемещения кристалла в целом + 3 вращения кристалла в целом - pit.physik.uni-tuebingen.de/PIT-II/teaching/… ) Я не могу сказать вам прямо сейчас, если или как важны вращательные степени свободы атомов.
Я ошибался: Н обозначает количество примитивных ячеек. В моей программе упоминается, что есть Н разрешенные волновые векторы для мод колебаний в зоне Бриллюэна. Кроме того, если есть п атомов в примитивной клетке должно быть 3 п ветви дисперсионного соотношения (ваш документ также упоминает об этом на стр. 92). Так что должно быть 3 п Н режимы колебаний: 2 п Н поперечный и п Н продольный. Но если я правильно понял из вашего ответа, нормальные моды не являются такими модами, потому что они являются их суперпозицией? Так что было бы логично, если бы 3 п Н нормальные режимы.
Так что я совсем запутался, чтобы было понятно следующее: что именно квантуется, если мы говорим о фононах? А если говорить о фононе с волновым вектором К → тогда каковы возможные частоты фонона? Можем ли мы использовать дисперсионные отношения fi, показанные на стр. 90 документа, на который вы ссылаетесь? Если я правильно понимаю, мы не можем, потому что, если мы говорим о фононах, мы говорим о суперпозициях мод с волновым вектором К → но разные частоты. Значит, так называемые «фононные дисперсионные соотношения» — это совсем другие дисперсионные соотношения?
@Rayman: К сожалению, у меня нет времени разбираться в ваших обозначениях, извините. Я рассказал вам, как считают степени свободы кристалла (3N) и степени свободы фохона (3N-6). Итак, имеется (после диагонализации) 3N-6 независимых (несвязанных) фононных мод. Некоторые из них являются не чисто продольными или поперечными, а суперпозициями продольных и поперечных колебаний. Итак, если вы знаете, как выполнить квантование для одного независимого генератора, вы можете выполнить квантование для (3N-6) независимых генераторов.
Благодарю вас за ваше усилие. Я все еще не понимаю. Вы противоречите некоторым источникам, которые утверждают, что 3 Н фононные моды, а не 3 Н − 6 , включая программу, которую я использую. Fi www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Winter_2013/… стр. 23.
@Rayman: Ваша ссылка кажется мертвой. Я дал источник и пояснения к 3 Н − 6 . Кроме того, я думаю, что некоторые люди просто пишут 3 Н потому что Н обычно намного больше единицы, поэтому вы можете пренебречь 6 по сравнению с 3 Н .
Вопрос о квантовании колебаний решетки (фононов)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v