Помощь с домашним заданием по узловому напряжению

Переформулировка

Обычно я люблю перерисовывать схемы, прежде чем пытаться их анализировать. Могут прийти некоторые упрощения. Даже если вам не разрешено использовать эти упрощения непосредственно в ответе, вы, безусловно, можете использовать их для упрощения перекрестной проверки ваших результатов.

Вот ваша схема, как я ее вижу:

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

я вставил$V_1$чтобы было понятно, на что действует CCVS:$I_{\text{V}_1}$.

Направление тока, которое я использовал для$I_{\text{V}_1}$имеет различные условности. Однако на самом деле не имеет значения, какую конвенцию вы выберете. Все по-прежнему работает.

Некоторые хотят, чтобы все, что потребляет энергию, вычислялось как положительное значение, а все, что генерирует энергию, вычислялось как отрицательное значение. В таком случае мое направление будет считаться неправильным !

Для других, таких как я, удобнее представить, что направление согласуется с направлением, которое вы могли бы выбрать для простого последовательного контура в анализе сетки, например, с источником напряжения и резистором .

Я придерживаюсь своего соглашения. Но вы можете использовать и то, что предпочитаете.

Простое упрощение

Упрощение, которое приходит на ум, заключается в том, что$R_3$совершенно не имеет значения и может быть закорочено. Источники тока имеют бесконечный импеданс, поэтому$R_3$вымывается полностью. Вас не интересует и не нужно знать напряжение в узле d . При составлении узлового уравнения для узла a все, что вам нужно знать, это то, что будет$9\:\text{A}$прибывающих из этого отделения. Конец истории.

^{смоделируйте эту схему}

Рассмотрение узлового уравнения

Просто задайте узловое уравнение для узла a , другое узловое уравнение для узла b , а затем добавьте$V_a=V_b$как ваше третье уравнение. Вы будете решать три «неизвестных». (Технически, во всяком случае.) Это$V_a$,$V_b$, и$I_{\text{V}_1}$. (Конечно, вы должны ожидать, что решение выдаст такое же значение для$V_a$что касается$V_b$.)

Вам действительно не нужно беспокоиться об узле c , потому что он является синонимом уравнения для CCVS:$4\cdot I_{\text{V}_1}$.

(Или, другими словами, рассматривая напряжение в узле c как$4\cdot I_{\text{V}_1}$вы фактически вырезаете CCVS из схемы. Он больше не нужен.)

Таким образом, при написании узлового уравнения для узла a вы просто подставляете это уравнение туда, где обычно размещаете напряжение или разность напряжений (в зависимости от того, как вы хотите записать узловые уравнения).

Имея эти решения в руках, очень легко работать$V_y$, как вы знаете, что у вас есть$9\:\text{A}$прибытие в узел а и$I_{\text{V}_1}$выходя из узла а . Остаток должен быть предоставлен$R_1$. Так что получить его несложно. Просто умножь$R_1$по остаточному току. Сделанный.

---

Если вам нужна дополнительная помощь, дайте мне знать. Но, надеюсь, это продвинет вас вперед.

---

Узловые уравнения

Узловой анализ очень прост, если вы просто расположите свои уравнения так, чтобы входящие и исходящие потоки разделялись знаком равенства. Тогда испортить его практически невозможно.

Прежде чем я углублюсь, обратите внимание, что я изменил приведенные выше схемы, чтобы показать мой личный выбор направления .$I_{\text{V}_1}$. Приведенные ниже уравнения будут соответствовать моим предпочтениям. Это может быть не ваше.

$$\begin{align*} \begin{array}{r} {\text{Node } a:}\vphantom{\frac{V_a}{R_1}}\\\\ {\text{Node } b:}\vphantom{\frac{V_b}{R_2}}\\\\ {\text{Assignment}:}\vphantom{V_b} \end{array} && \overbrace{ \begin{array}{r} \frac{V_a}{R_1=12\:\Omega} + I_{V_{1}}\\\\ \frac{V_b}{R_2=4\:\Omega}\\\\ V_a \end{array} }^{\text{outflowing currents}} & \begin{array}{c} &\quad{=}\vphantom{\frac{V_a}{R_1}}\\\\ &\quad{=}\vphantom{\frac{V_b}{R_2}}\\\\ &\quad{=}\vphantom{V_b} \end{array} & \overbrace{ \begin{array}{l} \left(I_1=9\:\text{A}\right)+\frac{V_c\,=\left(4\:\Omega\,\cdot\, I_{\text{V}_1}\right)}{R_1=12\:\Omega}\\\\ \left(I_2=2\:\text{A}\right)+I_{\text{V}_1}\\\\ V_b \end{array} }^{\text{inflowing currents}} \end{align*}$$

(См. Приложение KCL .)

Одновременное решение

Тогда просто используйте sympy :

var('va vb iv1 i1 i2 r1 r2')
eqa = Eq( va/r1 + iv1, i1 + (4*iv1)/r1 )
eqb = Eq( vb/4, i2 + iv1 )
eq0 = Eq( va, vb )
ans = solve( [ eqa, eqb, eq0 ], [ va, vb, iv1 ] )
for x in ans: x, ans[x].subs({ i1:9, i2:2, r1:12, r2:4 })
(va, 124/3)
(vb, 124/3)
(iv1, 25/3)

Это хорошо, что$V_a$имеет то же значение, что и$V_b$! Иначе я бы понял, что где-то облажался. То, что они одинаковые, не означает, что я в безопасности. Но хоть какое-то маленькое утешение.

На этом этапе все, что вам нужно сделать, это вычислить$V_y=R_1\cdot\left(I_1-I_{\text{V}_1}\right)$:

vy = ( r1*( i1 - ans[iv1] ) ).subs({ i1:9, i2:2, r1:12, r2:4 })
vy
8

Краткое содержание

Это не$36\:\text{V}$как следует из вашего комментария. Но допустим, вы хотели проверить свой ответ. Просто следуйте логике ниже:

Если$V_y=V_{R_1}= 36\:\text{V}$, затем$I_{R_1}= \frac{36\:\text{V}}{12\:\Omega}=3\:\text{A}$ от узла а . Так как есть$9\:\text{A}$входящий в узел a , то следует, что$I_{\text{V}_1}=9\:\text{A}-3\:\text{A}=6\:\text{A}$ из узла a в узел b . Так как есть также$2\:\text{A}$приходя в узел b , это означает, что$I_{R_2}=6\:\text{A}+2\:\text{A}=8\:\text{A}$. Это значит, что$V_b=8\:\text{A}\cdot 4\:\Omega=32\:\text{V}$. Мы знаем$V_a=V_b$так$V_a=32\:\text{V}$, слишком. И это должно означать, что$V_c=V_a-V_y=-4\:\text{V}$. С$4\:\Omega\cdot I_{\text{V}_1}=-4\:\text{V}$так и должно быть$I_{\text{V}_1}=-1\:\text{A}$. Но это противоречие!

Так что это способ проверить ваш ответ.

---

Теперь давайте проверим sympy. (Надеюсь, это хорошо, потому что я часто его использую.)

Если$V_y=V_{R_1}= 8\:\text{V}$, затем$I_{R_1}= \frac{8\:\text{V}}{12\:\Omega}=\frac23\:\text{A}$ от узла а . Так как есть$9\:\text{A}$входящий в узел a , то следует, что$I_{\text{V}_1}=9\:\text{A}-\frac23\:\text{A}=8\frac13\:\text{A}$ из узла a в узел b . Так как есть также$2\:\text{A}$приходя в узел b , это означает, что$I_{R_2}=8\frac13\:\text{A}+2\:\text{A}=10\frac13\:\text{A}$. Это значит, что$V_b=10\frac13\:\text{A}\cdot 4\:\Omega=41\frac13\:\text{V}$. Мы знаем$V_a=V_b$так$V_a=41\frac13\:\text{V}$, слишком. И это должно означать, что$V_c=V_a-V_y=33\frac13\:\text{V}$. С$4\:\Omega\cdot I_{\text{V}_1}=33\frac13\:\text{V}$так и должно быть$I_{\text{V}_1}=8\frac13\:\text{A}$. Никакого противоречия!

Симпи меня не подвел. Хорошая вещь.