Понимание математической концепции фазового пространства и фазового портрета

Фазовое пространство — это пространство, в котором представлены все возможные состояния системы , причем каждое возможное состояние соответствует одной уникальной точке фазового пространства.

В вашем случае из структуры решений вашего ОДУ видно, что решения x(t) являются двухпараметрическими ($x_0,v_0$) семейств, поэтому их можно представить на двумерной плоскости в виде линий (траекторий) ($x(t),\dot{x}(t)$) где t параметризует прямую, полностью характеризуемую начальной точкой ($x_0,v_0$). Таким образом, эти траектории не пересекаются — они соответствуют единственному ИС ($x_0,v_0$) и распространяется дифференциальное уравнение ($x(t),\dot{x}(t)$) на них в уникальное будущее место в более позднее время.

В любой момент времени точка системы будет точкой на этой двумерной плоскости, поэтому она будет принадлежать такой уникальной траектории. Некоторые из этих траекторий могут быть периодическими, как для линейного осциллятора F=-x ; или открытые линии, для F=0 ; или по спирали к фиксированной точке для затухающего осциллятора,$F=-x-\gamma \dot x$(дальнейший вариант вы почему-то решили не рассматривать).

Все более высокие производные по времени от x(t), кроме первого, полностью определяются ОДУ и его производными по времени и, следовательно, не добавляют дополнительной информации о состоянии. Подумайте о заговоре ($x,\dot{x}, \ddot{x}$) вместо этого: вы по-прежнему получаете линии в своем расширенном трехмерном пространстве, но без дополнительной информации, характеризующей ваши состояния, их прошлое или их будущее, чтобы противопоставить их другим семействам/типам состояний. Периодические траектории по-прежнему будут периодическими, открытые – открытыми, стремящиеся к фиксированной точке – очень похожими.

• Вывод состоит в том, что две независимые константы вашего набора решений ОДУ 2-го порядка мотивируют двухмерное пространство графического интерфейса для их построения, чтобы охарактеризовать их характерные особенности.