Интуиция о Momentum Maps

Question

Интуиция о Momentum Maps

Золото

Я изучаю классическую механику, и есть один объект, который недавно появился в книге, и я не могу получить физическое представление о нем. Математическое определение выглядит следующим образом:

Позволять $M$ быть гладким многообразием вместе с симплетической формой $\omega$ и предположим $G$ действует слева на $M$ такое, что действие сохраняет симплектическую форму. Это означает, что если $\delta_{g} : M\to M$ является диффеоморфизмом, связанным с $g\in G$ , затем

{дельта}_{г}^{*} ю "=" ю

$\delta_g^\ast \omega=\omega$

Теперь пусть $\mathfrak{g}$ будет алгеброй Ли $G$ и $\langle,\rangle : \mathfrak{g}^\ast\times \mathfrak{g}\to \mathbb{R}$ спаривание

⟨ ф, А ⟩ "=" ф (А),

$\langle \varphi, A\rangle = \varphi(A),$

если мы обозначим $X^A$ векторное поле в $M$ связано с $A$ тогда можно увидеть, что $\eta = X^A\lrcorner \ \omega$ закрыто, потому что действие сохраняется $\omega$ . В этом случае мы определяем карту импульса как функцию $\mu:M\to \mathfrak{g}^\ast$ такой, что

г (⟨ мю, А ⟩) "=" {Икс}^{А} ⌟ ю .

$d(\langle \mu,A\rangle) = X^A \lrcorner \ \omega.$

Теперь для классической механики нас интересует случай $M = T^\ast Q$ где $Q$ является конфигурационным многообразием.

В этом случае я предполагаю, что должна быть хорошая интуиция о том, что на самом деле представляют собой карты моментума и что они представляют. По правде говоря, даже само название наводит нас на мысль, что это определение, приведенное выше, имеет важное значение для физики.

В таком случае, в классической механике, что на самом деле представляют собой карты импульса, определенные выше? Что они представляют и в чем заключается их хорошая интуиция?

Юхан Чен

Я столкнулся с этим вопросом, когда искал ссылки на карты моментов. Я не уверен, что уже поздно оставлять комментарии, но не могли бы вы поделиться названием книги?

Золото

@YuhangChen Книга, которую я изучал в то время, когда задавала этот вопрос, называлась «Геометрическая механика» Дэррила Д. Холма ( amazon.com/-/pt/dp/1848167741/… ). Были также некоторые конкретные заметки о картах импульса, но, к сожалению, я не нашел их, чтобы поделиться. Надеюсь, это поможет!

Юхан Чен

Спасибо за ваш немедленный ответ (учитывая, что вопрос был задан 4 года назад)! Еще я нашел целую главу (более 100 страниц) карт моментов в книге «Симплектические методы в физике» Гиймена и Штернберга. Думаю, ваша книга должна быть лучшим выбором.

Ответы (1)

Интуиция о Momentum Maps

Я столкнулся с этим вопросом, когда искал ссылки на карты моментов. Я не уверен, что уже поздно оставлять комментарии, но не могли бы вы поделиться названием книги?
@YuhangChen Книга, которую я изучал в то время, когда задавала этот вопрос, называлась «Геометрическая механика» Дэррила Д. Холма ( amazon.com/-/pt/dp/1848167741/… ). Были также некоторые конкретные заметки о картах импульса, но, к сожалению, я не нашел их, чтобы поделиться. Надеюсь, это поможет!
Спасибо за ваш немедленный ответ (учитывая, что вопрос был задан 4 года назад)! Еще я нашел целую главу (более 100 страниц) карт моментов в книге «Симплектические методы в физике» Гиймена и Штернберга. Думаю, ваша книга должна быть лучшим выбором.

Любопытный Разум · Answer 1

Карта эквивариантных моментов имеет несколько приложений. Его смысл в том, что он обеспечивает кодировку того, как группа Ли $G$ действует на фазовое пространство, и это дает вам способ найти наблюдаемые, соответствующие сохраняющимся величинам/генераторам симметрии $G$ : Он также определяет процесс симплектической редукции к редуцированному фазовому пространству .

При условии

г (⟨ мю (\dot{}), г ⟩) "=" ю (р (г), \dot{})

$\mathrm{d}(\langle\mu(\dot{}),g\rangle) = \omega(\rho(g),\dot{})$ где

ρ (g)

$\rho(g)$ обозначает векторное поле (Киллинга), связанное с бесконечно малым действием

g

$\mathfrak{g}$ , 1-форма

ω (ρ (g), \dot{})

$\omega(\rho(g),\dot{})$ закрыт из-за

d^{2} = 0

$\mathrm{d}^2 = 0$ . Если предположить, что действие группы гамильтоново , то предполагается, что форма также точна и, следовательно, существует гладкая функция

f_{g}

$f_g$ с

d f_{g} = ω (ρ (g), \dot{})

$\mathrm{d}f_g = \omega(\rho(g),\dot{})$ . Также предполагается, что гамильтоново действие дает гомоморфизм алгебр Ли

г \to С^{\infty} (М), г \mapsto ф_{г}

$\mathfrak{g} \to C^\infty(M), g \mapsto f_g$ и его образ в точности являются образующими симметрии в классическом смысле. Таким образом, карта моментов обеспечивает бескоординатное описание того, как алгебра Ли симметрии вкладывается в полную алгебру Пуассона наблюдаемых. Например, для группы вращений образ представляет собой алгебру Ли углового момента (отсюда и название!).

Теперь можно использовать симметрию, чтобы свести фазовое пространство к поверхности, на которой сохраняющиеся величины постоянны. Это делается путем выбора любого регулярного значения $\mu$ и взять его прообраз, а затем вынырнуть из группового действия. Эта поверхность инвариантна относительно гамильтонового потока и приобретает собственную динамику, что позволяет нам отбросить остальную часть фазового пространства, если нас интересует только это конкретное значение зарядов, создающих симметрию.

Таким образом, карта моментов говорит вам, как найти «поверхности с постоянными зарядами» в полном фазовом пространстве.

Особенно важен случай калибровочной группы, представляющей динамику со связями, где правильный выбор естественно предписывается тем фактом, что образующие обращаются в нуль на поверхности связи, поэтому правильная симплектическая редукция $\mu^{-1}(0)/G$ . Это можно использовать для высокоуровневого описания того, как БРСТ-когомологии получают правильную алгебру калибровочно-инвариантных наблюдаемых, см. этот мой ответ .

Интуиция о Momentum Maps

Золото

Юхан Чен

Золото

Юхан Чен

Ответы (1)

Любопытный Разум

Действие сопряженного импульса на TMTMTM и явная форма

Импульс является котангенсным вектором?

Симплектическая структура и изоморфизмы

Когда автономная система может быть написана с использованием гамильтониана?

Интересная гамильтонова система [дубликат]

Что представляют собой уравнения Гамильтона относительно нестандартной симплектической формы?

Связь между скобками Пуассона и симплектической формой

Какова физическая интуиция для симплектических структур?

Вопрос о траекториях частиц в формализме симплектического многообразия

Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?