как решить систему дифференциальных уравнений для этой частицы?

Question

как решить систему дифференциальных уравнений для этой частицы?

Физика
анализ
Математика
математическая физика
вариационное исчисление
обыкновенные дифференциальные уравнения

Кристиан Родригес

я пытаюсь решить эту проблему

Частица массы m движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности параболоида вращения $x^2+y^2=az$ который предполагал отсутствие трения. Получите уравнения движения.

Лагранжиан в полярных координатах, предполагающий гравитацию по направлению к отрицательной оси z, равен

л "=" \frac{1}{2} м ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{ф}}^{2} + {\dot{г}}^{2}) - м г г; \ddot{д} \equiv \frac{г \dot{д}}{г т} \equiv \frac{г^{2} д}{г т^{2}}

$L=\frac 1 2m\left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\varphi^2+\dot z^2\right)-mgz;\qquad \ddot q\equiv\frac {d\dot q} {dt}\equiv\frac{d^2 q}{dt^2}$ наложенное условие ограничений подразумевает

ф "=" р^{2} - а г "=" 0

$f=\rho^2-az=0$ Уравнения Лагранжа для этой системы имеют вид

\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" λ \frac{\partial ф}{\partial д_{я}}

$\frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\lambda\frac{\partial f}{\partial q_i}$

λ

$\lambda$ является множителем Лагранжа. Затем

q_{1} = ρ

$q_1=\rho$ ,

q_{2} = z

$q_2=z$ ,

q_{3} = φ

$q_3=\varphi$

м \ddot{р} - м р {\dot{ф}}^{2} "=" 2 р λ

$\fbox{$m\ddot\rho-m\rho\dot \varphi^2=2\rho\lambda$}$

м \ddot{г} + м г "=" - а λ

$\fbox{$m\ddot z+mg=-a\lambda $}$

\frac{г}{г т} (р^{2} \dot{ф}) "=" 0

$\fbox{$ \frac{d}{dt}\left(\rho^2\dot\varphi\right)=0$}$

р^{2} - а г "=" 0

$\fbox{$\rho^2-az=0$}$

р е [0, + \infty), ф е [0, 2 π), г е (- \infty, + \infty)

$\rho\in[0,+\infty),\quad\varphi\in[0,2\pi),\quad z\in(-\infty,+\infty)$ Я не знаю, как решить эту систему уравнений, и самое главное определить

λ

$\lambda$ .

Из системы уравнений я мог сделать вывод, что

р^{2} \dot{ф} "=" с_{0}

$\rho^2\dot\varphi=c_0$

м \ddot{р} - м \frac{с_{0}^{2}}{р^{3}} "=" 2 р λ

$m\ddot\rho-m\frac{c_0^2}{\rho^3}=2\rho\lambda$

а г \dot{ф} "=" с_{0}

$az\dot\varphi=c_0$

\dot{г} \dot{ф} + г \ddot{ф} "=" 0

$\dot z\dot\varphi+z\ddot\varphi=0$

в декартовых координатах

м \ddot{у} "=" 2 у λ

$\fbox{$m\ddot y=2y\lambda$}$

м \ddot{Икс} "=" 2 Икс λ

$\fbox{$m\ddot x=2x\lambda$}$

м \ddot{г} + м г "=" - а λ

$\fbox{$m\ddot z+mg=-a\lambda $}$

{Икс}^{2} + у^{2} - а г "=" 0

$\fbox{$x^2+y^2-az=0$}$

Полуклассический

Единицы второго члена вашего первого уравнения в рамке не согласуются с остальной частью уравнения. Поэтому я бы перепроверил задействованные производные.

Кристиан Родригес

ладно поправил, спасибо...

пользователь5402

Находить

\dot{φ}

$\dot\varphi$ из третьего уравнения и подставить его в 1-е.

Ответы (2)

как решить систему дифференциальных уравнений для этой частицы?

Единицы второго члена вашего первого уравнения в рамке не согласуются с остальной частью уравнения. Поэтому я бы перепроверил задействованные производные.
Находить $\dot\varphi$ из третьего уравнения и подставить его в 1-е.

глазное яблоколягушка · Answer 1

Кажется, вы успешно нашли систему уравнений движения частицы. Да, вы можете удалить некоторые переменные, но если проблема не говорит об этом, в этом нет необходимости.

Если вы хотите решить эту проблему, все становится немного сложнее. Мы знаем, что это система, сохраняющая энергию и угловой момент, поэтому мы знаем, что уравнения движения можно упростить до

р^{2} \dot{ф} "=" с_{0} \frac{м}{2} ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{ф}}^{2} + {\dot{г}}^{2}) + м г г "=" Е р^{2} - а г "=" 0.

$\rho^2\dot{\varphi} = c_0 \\ \frac{m}{2}\left(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2\right) + mgz = E\\ \rho^2 - az = 0.$ Чтобы получить это из уравнений движения Лагранжа, умножьте

ρ

$\rho$ уравнение по

\dot{ρ}

$\dot{\rho}$ ,

z

$z$ уравнение по

\dot{z}

$\dot{z}$ , и сложите их вместе. Все это упростит закон сохранения энергии, указанный выше.

Замена на $\dot{\varphi}$ и $z$ дает

\frac{м}{2} [(1 + \frac{4 р^{2}}{а^{2}}) {\dot{р}}^{2} + \frac{с_{0}^{2}}{р^{2}}] + \frac{м г}{а} р^{2} "=" Е .

$\frac{m}{2}\left[\left(1 + \frac{4\rho^2}{a^2}\right)\dot{\rho}^2 + \frac{c_0^2}{\rho^2}\right] + \frac{mg}{a}\rho^2 = E.$ Это отделимое уравнение первого порядка, поэтому оно в принципе разрешимо. Мы можем избавиться от многих констант, используя

ρ (t) = (a / 2) r (t \sqrt{2 g / a})

$\rho(t) = (a/2)r(t\sqrt{2g/a})$ :

(1 + р^{2}) {\dot{р}}^{2} + \frac{к}{р^{2}} + р^{2} "=" ϵ; к \equiv \frac{8 с_{0}^{2}}{а^{3} г}, ϵ \equiv \frac{4 Е}{м г а}

$(1 + r^2)\dot{r}^2 + \frac{k}{r^2} + r^2 = \epsilon\;\;\;\;;\;\;\;\; k\equiv \frac{8c_0^2}{a^3 g}\,,\,\, \epsilon\equiv \frac{4E}{mga}$ Несмотря на то, что он стал заметно чище, чем раньше, он все еще представляет собой беспорядок. Такова жизнь в динамике. Разделение и использование

u

$u$ -замена дает

\frac{1}{2} \int_{р_{0}^{2}}^{р^{2}} \sqrt{\frac{1 + ты}{ϵ ты - {ты}^{2} - к}} г ты "=" т - т_{0}

$\frac{1}{2}\int_{r_0^2}^{r^2}\sqrt{\frac{1+u}{\epsilon u - u^2 - k}}du = t - t_0$ что является решением, хотя и неявным, с которым может быть трудно работать.

Фредерик · Answer 2

обычно не находишь $\lambda$ , но используйте свое ограничение, чтобы устранить нефизическую степень свободы (3 переменные в вашей параметризации, 2 степени свободы в системе).

Более подробно, продифференцируйте ограничение дважды, подключите его к $z$ уравнение движения, умножьте соответствующим образом, чтобы приравнять $\rho$ уравнение. Вы получаете

м \ddot{р} - м р {\dot{ф}}^{2} "=" - 2 р \frac{м}{а} (г + \frac{2}{а} ({\dot{р}}^{2} + р \ddot{р}))

$m \ddot\rho -m \rho \dot\phi^2 = -2\rho\frac m a \left(g+ \frac 2 a(\dot\rho^2 + \rho\ddot\rho)\right)$

что приводит к

\ddot{р} - р {\dot{ф}}^{2} + 2 \frac{г}{а} р + 4 \frac{р}{а^{2}} ({\dot{р}}^{2} + р \ddot{р}) "=" 0.

$\ddot\rho-\rho\dot\phi^2 + 2\frac g a \rho+4\frac{\rho}{a^2}\left(\dot\rho^2 + \rho\ddot\rho\right) =0.$

Это уравнение движения лагранжиана (исключающее $z$ от начала, $m=1$ )

л "=" \frac{1}{2} ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{ф}}^{2} + \frac{4}{а^{2}} (р \dot{р})^{2}) - \frac{г}{а} р^{2}

$L=\frac 1 2 (\dot\rho^2 + \rho^2\dot\phi^2 +\frac{ 4}{ a^2} (\rho\dot\rho)^2) -\frac g a \rho^2$

как и должно быть.

Что касается решения уравнений, я не знаю.

как решить систему дифференциальных уравнений для этой частицы?

Кристиан Родригес

Полуклассический

Кристиан Родригес

пользователь5402

Ответы (2)

глазное яблоколягушка

Фредерик

Понимание математической концепции фазового пространства и фазового портрета

Дифференциальное уравнение проблема утечки воды y=x2y=x2y=x^2

Выразите коэффициенты дифференциального уравнения через линейно независимые решения.

Математические определения в теории струн

Текст по математической физике с большим количеством приложений

Гипотеза математической вселенной

Рекомендация по книге по математической физике [дубликат]

Происхождение операторов в квантовой механике

Каковы последствия такой теории, как квантовая механика, если математика предполагает, что она включает в себя бесконечности, большие и плотные, чем реальные?

Вопрос о функции распределения Ферми-Дирака