Я думаю, что cogsci может помочь мне в изучении проблемы философии математики. Рассмотрим этот случай (адаптировано из M. Detlefsen, Brouwerian Intuitionism ):
У Люси такое понимание данного математического предмета S, которое мы обычно ассоциируем с мастером-математиком. Джон обладает превосходной способностью манипулировать аксиомами для S в соответствии с логическими средствами.
Проблема: есть ли существенная разница между знаниями Люси об S и знаниями Джона об S? Верно ли, что второй вид знания не предполагает первого? Правда ли, что Люси в значительной степени понимает S), Джон не понимает S в определенной значительной степени.
Есть ли работы в cogsci, которые могут помочь мне в изучении этой проблемы?
Я нашел относительно старую статью (Арбиб, Пиажеовский взгляд на математические построения ), но больше ничего.
Огромное спасибо.
Я думаю, здесь важно четко понимать, на что Джон действительно способен. Если все, на что он способен, — это правильно манипулировать аксиомами S , то это на самом деле не продвинет его далеко, по крайней мере, по двум причинам. (Именно поэтому компьютерные программы для доказательства теорем имеют существенные ограничения.)
1) Предположим, мы даем Джону конкретную теорему P из S и просим его доказать P. Сможет ли он это сделать? Не обязательно. Существует набор логических шагов, основанных на аксиомах, которые доказывают P, так что это кажется в пределах досягаемости Джона. Но одна проблема здесь связана с вычислительной сложностью . Если Джон просто ненаправленно пытается вывести новые факты S из аксиом в надежде в конце концов прийти к P, количество путей, по которым он может пойти, будет экспоненциально увеличиваться, и это может занять больше времени, чем время жизни. Вселенной, чтобы он пришел к результату. С другой стороны, мастера-математики в области S имеют острую интуицию относительно того, что может быть эффективным путем к доказательству P.
2) Математики делают больше, чем решают ранее указанные открытые проблемы. Они также пытаются создать новые важные проблемы. Математик, не очень хорошо разбирающийся в формальных доказательствах, может, тем не менее, внести существенный вклад, правильно предположив очень интересный результат (даже если его должен доказать кто-то другой).
1) и 2) несколько перекрываются; например, опытный математик может сформулировать лемму L в S, чрезвычайно полезную для доказательства P.
Если Джон не может выполнить 1) и 2), то неясно, действительно ли он очень искусен в S. Если да, то кажется, что, возможно, он не так уж сильно отличается от Люси в конце концов; где-то у него правильная интуиция. Возможно, Люси более осознанно осознает свою интуицию, что, возможно, ведет к дискуссии о том, каково это — испытывать эти интуиции. Но многие интуиции великих математиков не являются следствием сознательной обработки; определенные способы действий просто кажутся им правильными, но они не всегда могут объяснить, почему.
Некоторые выдающиеся математики писали о процессе математических изобретений и о некоторых методах правдоподобных рассуждений в математике. Вот некоторые ссылки:
Жак Адамар. Очерк психологии изобретательства в области математики.
Джордж Поля. Математика и правдоподобные рассуждения, том I: индукция и аналогия в математике. Издательство Принстонского университета, 1954.
Джордж Поля. Математика и правдоподобные рассуждения, том II: модели правдоподобного вывода. Издательство Принстонского университета, 1954.
Анри Пуанкаре. «Интуиция и логика в математике». В: Ценность науки. Доступно здесь: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html .
Вы также можете найти интересные статьи Дэвида Талла, областью исследований которого является математическое мышление: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/
Как предполагает настоящее, в этих статьях вы можете найти немного информации о символических манипуляциях и много информации о том, как подходить к новым и сложным математическим задачам с помощью аналогии, интуиции и других подобных когнитивных инструментов.
Ижаки
МаттеоБьянкетти
МаттеоБьянкетти
Ижаки
МаттеоБьянкетти