Сегодня я начал читать главу 13: Распространение в кристаллической решетке лекций Фейнмана III .

Но я не мог понять некоторые из его произведений, например:

Если у вас есть гармонический осциллятор, который связан с другим гармоническим осциллятором, а тот с другим, и так далее…, и если вы запустите неравномерность в одном месте, то неоднородность будет распространяться вдоль линии как волна. ___ Такая же ситуация возникает, если вы поместите электрон у одного из атомов длинной цепочки атомов. ___$^1$

Обычно самый простой способ анализа механической проблемы состоит не в том, чтобы думать о том, что происходит, если импульс начинается в определенном месте, а в терминах установившихся решений. Существуют определенные закономерности смещений, которые распространяются по кристаллу в виде волны одной фиксированной частоты. То же самое происходит и с электроном — и по той же причине, потому что в квантовой механике он описывается аналогичными уравнениями.

Однако вы должны ценить одну вещь; амплитуда нахождения электрона в определенном месте — это амплитуда, а не вероятность. Если бы электрон просто перетекал из одного места в другое, как вода через дыру, поведение было бы совершенно другим. Например, если бы у нас было два резервуара с водой, соединенных трубкой, чтобы обеспечить некоторую утечку из одного в другой, то уровни приближались бы друг к другу экспоненциально. Но для электрона происходит утечка амплитуды, а не просто утечка вероятности. И это характеристика воображаемого термина —$i$в дифференциальных уравнениях квантовой механики, которое изменяет экспоненциальное решение на колебательное решение. То, что происходит тогда, сильно отличается от утечки между соединенными резервуарами.$^2$

$\bullet ^1$Что имеет в виду Фейнман, говоря о той же ситуации в случае электронов? Хотел сказать, почему он сравнил утечку электронов с бесконечно связанным осциллятором? Какая связь между этими двумя случаями?

$\bullet ^2$Что произойдет, если амплитуда будет не амплитудой, а вероятностью ? Почему тогда ситуации были бы другими? В чем разница между утечкой амплитуды и утечкой вероятности ??

[...] любое государство$|ϕ⟩$электрона в нашем одномерном кристалле можно описать, задав все амплитуды$⟨n|ϕ⟩$что государство$|ϕ⟩$находится в одном из основных состояний, что означает амплитуду его расположения на одном конкретном атоме. Тогда мы можем написать состояние$|ϕ⟩$как суперпозиция базовых состояний

$$|ϕ⟩=\sum_n|n⟩⟨n|ϕ⟩.\tag{13.1}$$ Далее мы собираемся предположить, что когда электрон находится у одного атома, существует определенная амплитуда, по которой он будет просачиваться к атому с любой стороны. И мы возьмем простейший случай, когда он может просочиться только к ближайшим соседям — чтобы добраться до следующего ближайшего соседа, он должен пройти два шага. Примем, что амплитуды прыжка электрона с одного атома на другой равны $iA/ℏ$(___в единицу времени___ $^3$). На данный момент мы хотели бы записать амплитуду $⟨n|ϕ⟩$быть на $n$атом как $C_n.$Тогда уравнение $(13.1)$будет написано $$|ϕ⟩=\sum_n|n⟩C_n.\tag{13.2}$$ Если бы мы знали каждую из амплитуд $C_n$в данный момент мы могли бы взять их абсолютные квадраты и получить вероятность того, что вы найдете электрон, если посмотрите на атом $n$в это время. Какая ситуация будет через какое-то время? По аналогии с изученными нами системами с двумя состояниями, мы бы предложили, чтобы уравнения Гамильтона для этой системы составлялись из уравнений вида: $$iℏ\frac{dC_n(t)}{dt}=E_0C_n(t)−AC_{n+1}(t)−AC_{n−1}(t).\tag{13.3}$$ Первый коэффициент справа, $E_0$физически представляет собой энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог уйти от одного из атомов. (Неважно, как мы называем $E_0$; как мы видели много раз, на самом деле он представляет собой не что иное, как наш выбор нуля энергии.) Следующий член представляет ___ амплитуду в единицу времени, с которой электрон просачивается в $n$яма из $(n+1)$ул пит___ $^3$; а последний член представляет собой амплитуду утечки из $(n−1)$ул яма. Как обычно, будем считать, что $A$постоянная (независимая от $t$).

$\bullet ^3$Что такое амплитуда в единицу времени ? Изменение амплитуды в единицу времени может иметь смысл. Но мне кажется, что амплитуда в единицу времени не имеет смысла. Кто-нибудь может объяснить мне, что Фейнман имел в виду под амплитудой в единицу времени ?