Когда мы «нормализуем» волновую функцию, мы вводим соответствующий коэффициент, чтобы волновая функция могла действовать как распределение вероятностей. Однако, когда я рассматривал собственные функции оператора импульса (хотя то же самое относится и к собственным функциям оператора положения), они не нормализуемы в этом смысле.
В их «нормализации» мы используем дельту Дирака, а не дельту Кронекера:
Таким образом, внутренний продукт эйгестата с самим собой на самом деле бесконечен и интегрируется только до единства.
Я надеялся, что кто-нибудь сможет уточнить мотивацию и обоснованность нормализации в этом смысле?
Кроме того, я видел, что каноническая «нормализация» полиномов Лежандра включает установку , однако полиномы тогда не нормируются в смысле скалярного произведения на функциональном пространстве. Таким образом, это, кажется, другое использование термина «нормализация».
Слово «нормализованный» может быть двусмысленным, но смысл, который позволяет ему уловить большую часть того, для чего оно предназначено в квантовой механике, заключается в том, что должны выполняться теоремы Парсеваля и Планшереля, так что скалярный продукт между квантовыми состояниями в равно соответствующему определению скалярного произведения между соответствующими функциями суперпозиции/веса, когда эти состояния разрешаются в новую систему координат с новыми базисными состояниями. То есть все наши преобразования между системами координат должны быть унитарными, чтобы расчеты внутренних продуктов, вероятностей и т.п. переносились беспрепятственно.
Когда новые базисные состояния представляют собой недискретный набор, это определение сводится к уравнению, которое вы цитируете. Он также сведется к более знакомому вам, когда вы примените его к дискретному набору базисных состояний.
Кроме того, разные проблемы имеют разные области определения и разные пространства состояний. Обобщенные функции Лежандра возникают как в двумерных задачах, так и как часть трехмерных сферических гармоник. Таким образом, понятие нормализации будет варьироваться в зависимости от предметной области.
Наконец, «нормализованный» может также означать «масштабированный по стандартному рецепту». Отсюда конкретное определение нормализации функции Лежандра, которое вы цитируете.
Универсального определения не существует, и вы должны тщательно проверять каждого автора, хотя вы не найдете никакого другого использования термина «нормализованный» в квантовой механике, кроме первого, которое я дал в квантовой механике.
Дополнительная информация
Что сложного в наблюдаемых координатах положения и импульса, так это то, что они имеют непрерывный спектр. Их собственные функции также ненормируемы, так как они не имеют интеграл. Два из них - непрерывный спектр и ненормируемость - идут рука об руку, как обсуждается в сводке QMechanics о причинах «дискретности» в некоторых аспектах квантовой механики .
Это означает, что их собственные функции НЕ принадлежат обычному сепарабельному гильбертовому пространству, обсуждаемому в квантовой механике.
Запомните это немного: собственных функций операторов положения и импульса просто не существует в нашем обычном пространстве квантовых состояний. Этот факт часто недостаточно подчеркивается. На самом деле, это часто замалчивается, таинственная дельта Дирака всплывает в рассматриваемой лекции, и студенты, которые сомневаются в этом странном звере, должным образом чувствуют себя неадекватными, потому что они не могут понять эту магию мгновенно.
Здесь происходит что-то очень нетривиальное, и это то, что мы должны построить совершенно новую структуру — концепцию оснащенного гильбертова пространства — даже для того, чтобы говорить о таких собственных функциях и получить возможность строить произвольное квантовое состояние в из собственных векторов некомпактного оператора, которые теперь существуют в оснащенном гильбертовом пространстве. Здесь я даю подробное обсуждение оснащенного гильбертова пространства .
Но когда мы строим разложение по собственным функциям в оснащенном гильбертовом пространстве, суперпозиция не может быть дискретной, и теперь мы должны использовать интеграл. Связь между этим интегралом и разложением квантового состояния на счетно бесконечный набор собственных векторов очень похожа на связь между преобразованием Фурье и рядом Фурье.
Поскольку сейчас мы работаем с расширенным определением пространства квантовых состояний с интегралом вместо суперпозиции суммы, неудивительно, что понятие нормализации также должно быть расширено. Уравнение, которое вы цитируете, является расширением, которое сохраняет унитарность преобразования в координаты положения/импульса.
Дж. Г.
Qмеханик